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计算流体力学
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4 离散化的基本方法
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引言
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有限差分基础
在边界上怎样构造差分近似？
边界网格点
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有限差分基础
向前差分，只有一阶精度。
边界网格点
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有限差分基础
在边界上如何得到二阶精度的有限差分呢？
边界网格点
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有限差分基础
不同于前面的泰勒级数分析，下面采用多项式来分析。
边界网格点
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有限差分基础
设
边界网格点
在网格点1，
在网格点2，
在网格点3，
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有限差分基础
边界网格点
得
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有限差分基础
边界网格点
对y求导得：
在边界点1，
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有限差分基础
边界网格点
得：
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有限差分基础
边界网格点
根据
知
为三阶精度
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有限差分基础
边界网格点
故
为两阶精度
为三阶精度
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有限差分基础
边界网格点
为单侧差分
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差分方程
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差分方程
对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代数表示。
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差分方程
考虑非定常一维热传导方程：
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差分方程
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差分方程
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差分方程
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差分方程
偏微分方程：
差分方程：
截断误差：
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差分方程
差分方程是一个代数方程，如果在右图所示区域内所有网格点上都列出差分方程，就得到一个联立的代数方程组。
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差分方程
当网格点的数量趋于无穷多，也就是
时，差分方程能否还原为原来的微分方程呢？
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差分方程
截断误差：
截断误差趋于零，从而差分方程确实趋近于原微分方程。
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差分方程
从而差分方程确实趋近于原微分方程，
如果，
截断误差趋于零，
此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。
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差分方程
原微分方程与相应的差分方程之间的区别
截断误差：
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差分方程
原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别
离散误差：
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显式方法与隐式方法
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显式方法
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显式方法
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显式方法
上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间t
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显式方法
边界条件已知
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显式方法
边界条件已知
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显式方法
显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。
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隐式方法
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隐式方法
克兰克－尼科尔森格式
第7