11.7特征值,对角化.ppt

§ 矩阵的特征值
化H矩阵为对角形矩阵
特征值与特征向量
化H矩阵为对角形
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工程中的一些问题,如振动问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题;而数学中诸如方阵的对角化,求线性变换的不变元素等问题也需要特征值和特征向量的概念.
而矩阵的对角化涉及到如何把一个二次型化成对角形,进一步化成标准形的问题,解析几何中的提法是:对二次曲线和二次曲面的一般方程通过一个坐标变换化成标准方程.
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说明
一、特征值与特征向量
而且若x是特征向量,则乘以非零常数后仍是.
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按代数基本定理,知对n阶方阵恰有n个特征值(重根按重数计).特征值有时也叫特征根.
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:
若n阶方阵
的特征值为
则有
这两条性质都是将一元高次方程的根与系数的关系(即韦达定理)用于特征方程可证的,此处从略.
,从而有相同的特征值.
按相似矩阵的定义,若矩阵B与矩阵A相似,则存在可逆矩阵X,使
这是特征多项式的常数项
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因此
既然相似矩阵有相同的特征多项式,故有
我们再次说明了相似矩阵有相同的迹.
下面我们谈一下特征值和特征向量的求法.
例1 求矩阵
的特征值和特征向量.
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解
矩阵A的特征多项式
故A的特征值为
特征向量是满足
的非零向量.
把
代入,知特征向量满足方程组
解得一组非零解
这是对应于特征值
的一个特征向量.
把
代入
得方程组
解得对应于
的一个特征向量
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例2
解
得
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解得一个特征向量
由这两个例子可以看到,求解矩阵的特征问题是与解方程紧密联系的.
我们以几个常见的简单结论暂时将特征问题告一段落.
1)若p是矩阵A的特征向量,则kp也是.
2)属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
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二、H矩阵的对角化
本段要讨论的问题是如何把一个矩阵对角化.
由相似矩阵知,A与B相似是指存在可逆矩阵V,使
或说对矩阵A进行相似变换V变成B.
特别地,我们要讨论的是如何把矩阵A经相似变换变为对角矩阵B,因为对角矩阵是最简单的矩阵.
下面的定理指出了n阶矩阵可对角化的条件及方法.
定理1
n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
而且
是对角阵时,V的n个列向量就是
A的n个线性无关的特征向量.
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