数理统计之参数估计(习题库)[统计学经典理论].doc

第六章****题
1. 指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间: (i)二点分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在上的均匀分布;
(iv) 正态分布.
解:P;;;(iv)
2. 设是来自二点分布的一个子样,:
3. 已知母体均匀分布于之间,试求的矩法估计量.
解: ,。令得,
4. 对容量为的子样,求密度函数中参数的矩法估计量.
解: 令得.
5. 在密度函数中参数的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么?
解: (1)
令,得。
由于故是极大似然估计.
(2) 由令得
6. 用极大似然法估计几何分布中的未知参数.
解:,令
得而是P的极大似然估计.
7. 设随机变量的密度函数为,是的容量为的子样,试求的极大似然值.
解: ,。得,
又故
8. 设是取自均匀分布的母体的一个子样,其中试证:的极大似然估计量不止一个,例如都是的极大似然估计量.
解: 证:的密度函数为,故
即凡满足的均为的极大似然估计.
从而(1)满足此条件,故是的极大似然估计.
(2)由于故,所以也是的极大似然估计.
(3)由于, 故,,
从而,故也是的LM.
,即, 试求:的期望值和方差D的极大似然估计.
解:的密度函数为,所以,
两边对数并分别对和求寻,并令其为0,得似然方程组
,解得
经验知和的LM为: ,
又,
从而
10. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为的子样;其中有个白球,求罐子里黑球数和白球数之比的极大似然估计量.
解:设罐子里有白球个,则有黑球个,从而共有个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为:,黑球的概率为从而抽球为二点分布似然方程为。从而解得. 可验证这是R的极大似然估计.
,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下:
大肠杆菌个数/升 0 1 2 3 4 5 6
升数 17 20 10 2 1 0 0
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大.
解:由,设一升水中大肠杆菌个数=,,,出现上述情况的概率最大.
,是取自二维正态母体的一个子样,求和的极大似然估计.
解:由L
可得似然方程为
将(1),(2)代入(3)得: (4)
由(4)代入(1),(2)得似然估计: .
13. 从四个正态母体(它们都有同样的方差)中,各抽一个容量为的子样,第个子样的观测值为若四个母体的平均数分别为试求和的极大似然估计.
解:
两边取对数后对分别求导,令其均为0, 即得,,
。对求导代入得
.
14. 考虑某种离散分布,其中对某些可能有有连续导数,设是取自具有这种分布的母体的一个子样.
证明的极大似然估计是方程的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同.
试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.
解: (1)证
对求导得又由知
从而
所以似然方程可写为这与矩法方程一致.
(2) 对其中