高等数学同济大学课件上第74空间曲线.ppt

第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动目录上页下页返回结束空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组?????0),,( 0),,(zyxG zyxF 2SL 0),,(?zyxF0),,(?zyxG 1S 例如,方程组???????632 1 22zx yx 表示圆柱面与平面的交线 C. x zy 1 oC 2 机动目录上页下页返回结束又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线 C. ?????????0 22 222xayx yxazyx za o 机动目录上页下页返回结束zyx o 二、空间曲线的参数方程将曲线 C上的动点坐标 x, y, z 表示成参数 t的函数: 称它为空间曲线的参数方程.)(txx?例如,圆柱螺旋线??? vbt??,令???bz ay ax??? sin cos ,2时当???bh?2? tax? cos ?tay? sin ?tvz?的参数方程为上升高度, 称为螺距.)(tyy?)(tzz?? M 机动目录上页下页返回结束例1. 将下列曲线化为参数方程表示:???????632 1)1( 22zx yx?????????0 )2( 22 222xayx yxaz 解: (1) 根据第一方程引入参数 , tx cos ?ty sin ?) cos 26( 3 1tz??( 2) 将第二方程变形为,)( 4 222 2aayx???故所求为得所求为 tx aa cos 22??ty a sin 2?taz cos 2 12 1??)20(???t)20(???t 机动目录上页下页返回结束例2. 求空间曲线?:)(tx??)(ty??)(tz??)(????t 绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解:, ))(,)(,)(( 1??tttM???任取点点M 1绕 z 轴旋转, 转过角度?后到点,),,(zyxM 则??? cos )()( 22ttx????? sin )()( 22tty??)(tz????????????????20 t 机动目录上页下页返回结束这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如,直线 1?xty?tz2?绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为? cos 1 2tx??? sin 1 2ty??tz2?????????????????20 t 消去 t和?, 得旋转曲面方程为 4)(4 222???zyxx zoy 机动目录上页下页返回结束绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为又如, xoz 面上的半圆周? sin ax?0?y? cos az??? cos sin ax??? sin sin ay?? cos az?)0(??????????????????20 0 说明:一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如),(tsxx?),(tsyy?),(tszz?机动目录上页下页返回结束三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z得投影柱面则 C 在 xoy 面上的投影曲线 C′为消去 x 得 C 在 yoz 面上的投影曲线方程消去 y 得 C 在 zox 面上的投影曲线方程?????0),,( 0),,(zyxG zyxF,0),(?yxH?????0 0),(z yxH?????0 0),(x zyR?????0 0),(y zxT ?机动目录上页下页返回结束 zyx C1 o 例如,在 xoy 面上的投影曲线方程为???????0 022 22z yyx ???????????1)1()1( 1: 222 222zyx zyxC 机动目录上页下页返回结束