数学实验.ppt

实验 3 螺旋线与平面的交点 实验目的本次实验目的在于使学生能够借助于计算机,利用数学软件解决一些具体的非线性方程的求根问题。 实验内容螺旋线与平面相交的情况多种多样,根据螺旋线与平面方程的不同可以相交,也可以不相交。在相交的情况下,可以交于一点,也可以交于好多点。对于各种相交的情况,要求其交点的坐标并不是一件容易的事。本次实验就以此为背景讨论几种方程求根方法。以下面的具体问题为例:已知螺旋线的参数方程为? cos 4?x, ? sin 4?y, ??z, ??80??, 平面的方程为 ????zyx, 求该螺旋线与平面的交点。 问题求解将采用多种方法求螺旋线与平面的交点坐标,包括二分法、迭代法和弦截法等。将螺旋线的参数方程代入平面方程后可得: sin 4 cos 4???????等价变形得??? sin 4 cos 4???, 0 5 10 15 20 25 30 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 luoxuanxianyuzhixian .m theta=0::8 * pi; y1=4 *( cos (theta)+sin(theta)); y2=2- * theta; plot(theta,y1,theta,y2) 从图形可见在??80??内直线与三角曲线有 4个交点。 Matlab ( 1) 区间二分法. ( 1) 区间二分法定理:若函数)(xf在区间[ a, b] 上连续, 且 0)()(?bfaf, 则 0)(?xf在区间内至少有一个根。( 1) 区间二分法定理:若函数)(xf在区间[ a, b] 上连续, 且 0)()(?bfaf, 则 0)(?xf在区间内至少有一个根。[] ab 0)(?af 0)(?bf. ][ 0)2 ( ||0)2 ( ||0)2 (??????baf baf baf[[ ]]]... 0)2 (??baf][][ ][ 0)(?af 0)4 3( ||0)4 3( ||0)4 3(??????baf baf baf0)4 3(??baf 0)2 (??baf0)8 35( ||0)8 35( ||0)8 35(??????baf baf baf[ 0)4 3(??baf0)8 35(??baf 取每次二分小区间的中点可得一个收敛序列?? ni ix 1?, 该实数序列的极就是方程的根。即* lim xx nn????。 n nabxx2 *???若要求精度??? nxx *, 则要做等分区间的次数至少是: 1 log 2????????? ab 0 5 10 15 20 25 30 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6★计算 65???内的交点 Matlab 实际上: 5679965 - )5(?f 380576 )6(?) sin (cos 4)(????????f erfengfaqiujie .m a=5;b=6;x1=a;x2=b; while abs(x1-x2)> x3=(x1+x2)/2; f3=4 * cos (x3)+4 * sin(x3)+ * x3-2; if f3~=0 f1=4 * cos (x1)+4 * sin(x1)+ * x1-2; f2=4 * cos (x2)+4 * sin(x2)+ * x2-2; if f1* f3<0 x2=x3; else x1=x3; end end end x3 执行结果为: x3 = 该点的近似坐标为: ( , - , ) 查看图形 continue ( 2) 牛顿迭代法设方程 0)(?xf有实数根, 若能够将方程等价地转化成)(xgx?, 取一个初始值 0x代入)(xgx?的右端算得)( 01xgx?, 依次再计算)( 12xgx?, 类推可得序列)( 1kkxgx????,2,1,0?k, ?????1k kx, 称此序列为由迭代函数)(xg产生的迭代序列, 0x为迭代初始值。若该迭代序列收敛,则它的极限就是方程 0)(?xf的一个根。 kx 称为方程根的 k次近似值. 称使得迭代法收敛的初始值的取值范围为迭代收敛域。 容易验证方程 03 2???xx有两个不相等的实数根。输入 MATLAB 软件命令 solve( ‘ x^2+x-3=0 ’) 执行结果为: a