数学建模方法详解--模糊数学.doc

数学建模方法详解-- 模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中,人们经常会遇到模糊概念(或现象)。例如, 大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展,各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析,这就需要利用模糊数学这一工具来解决。模糊数学是一个较新的现代应用数学学科,它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域,即从必然现象到偶然现象,而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域,即从精确现象到模糊现象。在各科学领域中,所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。对于不确定性问题,又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性,而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。本章对于实际中具有模糊性的问题,利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。 模糊集与隶属函数 ,我们对通常集合的概念并不陌生,如果将所讨论的对象限制在一定的范围内,并记所讨论的对象的全体构成的集合为 U ,则称之为论域(或称为全域、全集、空间、话题) 。如果 U 是论域,则 U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集,记作)(UF 。在此,总是假设问题的论域是非空的。为了与模糊集相区别,在这里称通常的集合为普通集。对于论域 U 的每一个元素 Ux?和某一个子集 UA?,有 Ax?或Ax?,二者有且仅有一个成立。于是,对于子集 A 定义映射}1,0{:? U A?即??????,0 ,,1)(Ax Axx A, ?则称之为集合 A 的特征函数,集合 A 可以由特征函数唯一确定。所谓论域 U 上的模糊集 A 是指:对于任意 Ux?总以某个程度)]1,0[(? AA??属于 A ,而不能用 Ax?或Ax?描述。若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上,即得到模糊集的隶属函数。定义 是一个论域,如果给定了一个映射]1,0[)(]1,0[:??xxU A A???则就确定了一个模糊集 A ,其映射 A?称为模糊集 A 的隶属函数, A?称为 x 对模糊集 A 的隶属度。定义 ,论域 U 上的模糊集 A 由隶属函数 A?来表征, A?的取值范围为闭区间]1,0[ , A?的大小反映了 x 对模糊集 A 的从属程度, A?值接近于 1, 表示 x 从属 A 的程度很高, A?值接近于 0,表示 x 从属 A 的程度很低,? A?的点 0x 称为模糊集 A 的过渡点。当 A?的值域为}1,0{ 时, A?退化为普通集的特征函数,模糊集 A 蜕变为普通集,所以模糊集是普通集概念的推广。对于一个特定论域 U 可以有多个不同的模糊集,记 U 上的模糊集的全体为)(UF ,即}]1,0[:{)(??UAUF A?, 则)(UF 就是论域 U 上的模糊幂集,显然)(UF 是一个普通集,且)(UFU?。 },{ ,2,1nxxxU??为有限集时,若A 是U 上的任一模糊集,其隶属度为),,2,1 )((nix iA???,通常有如下三种表示方法: 1)Zadeh 表示法: n nAAA nii iAx xx xx xx xA )()()( )( 2 21 11????????????在论域 U 中, 0)(? iAx?的元素集称为模糊集合 A 的支集。 2)序偶表示法:将论域中的元素 ix 与其隶属度)( iAx?构成序偶来表示 A ))} ((, )),(( )),( {( ,2,21,1nAnAAxxxxxxA?????此种表示方法隶属度为 0的项可不写入。 3)向量表示法: )}(, ),( ),({ 21nAAAxxxA?????在向量表示法中,隶属度为 0的项不能省略。当论域 U 为无限集时,则 U 上的模糊集 A 可以表示为?? U Ax xA )(? 。定义 )(,UFBA?,其隶属函数为)(,)(xx BA??。 1)若对任意 Ux?,有)()(xx AB???,则称 A 包含 B ,记 AB?; 2)若 AB?且BA?,则称 A 与B 相等,记为 AB?。定义 设模糊集)(,UFBA?,其隶属函数为)(,)(xx BA??,则称 BABA??, 分别为 A 与B 的并集与交集;称 CA 为A 的补集或余集,它们的隶属函数分别为))(,)( max( )()()(xxxxx BABABA?????????))(,)( min( )()()(xxxxx BABABA?????????)(1)