方程求根实验.ppt

螺旋线与平面的交点(3) 螺旋线与平面的交点(3) 西安交通大学魏平实验 3 螺旋线与平面的交点 实验目的本次实验目的在于使学生能够借助于计算机,利用数学软件解决一些具体的非线性方程的求根问题。 实验内容螺旋线与平面相交的情况多种多样,根据螺旋线与平面方程的不同可以相交,也可以不相交。在相交的情况下,可以交于一点,也可以交于好多点。对于各种相交的情况,要求其交点的坐标并不是一件容易的事。本次实验就以此为背景讨论几种方程求根方法。以下面的具体问题为例:已知螺旋线的参数方程为 4cos , 4sin , , 0 8 x y z ? ????? ????平面的方程为 2 0 x y z ? ? ??求该螺旋线与平面的交点。 4cos 4sin 2 0 ? ??? ???等价变形得 4cos 4sin 2 ? ??? ?? 0 5 10 15 20 25 30 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 theta=0::8 * pi; y1=4 *( cos(theta)+sin(theta )); y2=2- * theta; plot(theta,y1,theta,y2) 从图形可见在 0 8 ? ?? ?内直线与三角曲线有 4个交点。 问题求解将采用多种方法求螺旋线与平面的交点坐标,包括二分法、迭代法和弦截法等。将螺旋线的参数方程代入平面方程后可得: (1) 区间二分法定理:若函数( ) f x在区间[a, b] 上连续, 且( ) ( ) 0 f a f b ?则( ) 0 f x ?在区间内至少有一个根。[] ab ( ) 0 f a ?( ) 0 f b ?. ][ ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 a b a b a b f or f or f ? ??? ??[[ ]]]... ( ) 0 2 a b if f ??][][ ][ ( ) 0 f a ? 3 3 3 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 4 4 4 a b a b a b f or f or f ? ??? ?? 3 ( ) 0 4 a b if f ??( ) 0 2 a b f ?? 5 3 5 3 5 3 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 8 8 8 a b a b a b f or f or f ? ??? ??[ 3 ( ) 0 4 a b f ?? 5 3 ( ) 0 8 a b f ??取每次二分小区间的中点可得一个收敛序列?? 1 niix ?该实数序列的极限就是方程的根。即* lim nn x x ???? n nabxx2 *???若要求精度*n x x ?? ?输入初值: ( ), [ , ], , f x a b er K ( ) / 2 c a b ? ? r c ?( ) 0? f r ?( ) ( ) 0? f a f r ?( ) / 2 c a b ? ?| | ? r c er ? ? b r ? a r ?输出结果: STOP No No No Yes Yes Yes 0 5 10 15 20 25 30 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6★计算 5 6 ?? ?内的交点 a=5;b=6;x1=a;x2=b; while abs(x1-x2)> x3=(x1+x2)/2; f3=4 * cos(x3)+4 * sin(x3)+ * x3-2; if f3~=0 f1=4 * cos(x1)+4 * sin(x1)+ * x1-2; f2=4 * c