暑期数学建模.doc

模糊数学方法在数学建模中的应用于鹏陕西科技大学理学院模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学工具. 在生产实际中有着广泛的应用基础,比如家电领域的模糊洗衣机、模糊洗碗机、模糊电视机等,航空军事领域的飞行器模拟实验,导弹追踪等技术。还有环境保护当中江河湖泊的污染监测等都与模糊数学密不可分。模糊数学方法做为处理模糊现象的一种工具在数学建模当中也是有着广泛的应用。暑期培训,我们将介绍一些应用模糊数学处理问题的基本方法,内容包括模糊聚类分析,模糊模型识别,模糊综合评价,及模糊线性规划。第一部分模糊数学的基本概念模糊集合的定义定义 1:设U 是论域,称映射 A(x):U→[0,1] 确定了一个 U 上的模糊子集 A ,映射 A(x) 称为 A 的隶属函数,它表示 x对A 的隶属程度. 当映射 A(x) 只取 0或1 时,模糊子集 A 就是经典子集,而 A(x) 就是它的特征函数. 设论域 1 2 { , , , } n U x x x ? ???是有限论域, A是U 上的模糊集。则 A 的表示方法有: (1) 扎德表示法: 1 2 1 2 nn A x A x A x A x x x ? ??????() ()() (2) 序对表示法: 1 1 2 2 { n n A x A x x A x x A x ?(,()),(,()),,(,()) L (3) 向量表示法: 1 2 n A A x A x A x ? ???((),(),,()) 一般设 1 2 0 1, ( , , , ) i n ? ???? ? K 表示模糊向量。例1 设论域 U={ 1 2 3 4 5 9 (140), (150), (160), (170), (180), (190) x x x x x x }( 单位: cm) 表示人的身高,那么 U 上的一个模糊集“高个子”(A) 的隶属函数 A(x) 可定义为 140 ( ) 190 140 x A x ???定义 2:设U 是论域, A是U 上的模糊集合[0,1] ??{ | ( ) } A x U A x ??? ? ? A ?称为 A的??截集。定义 3 :设, X Y 是两个论域,称映射: [0,1] R X Y ? ?为从 X 到Y 的模糊关系。特别地,当 X=Y 时,称之为 X 上各元素之间的模糊关系. 命题 1:设 1 2 1 2 { , , , }, { , , , } m n U u u u V v v v ? ???????,R 是从 U 到V 的模糊关系,则R 唯一确定一个 m n ?的模糊矩阵( ) R ij M r ?,其中( , ) ij i j r R u v ?。定义 4 :设 1R 是X到Y 的关系,2R 是Y到Z 的关系,则1R 与2R 的合成 1 2 R R o 是X到 Z 上的一个关系. 1 2 R R o (x,z)=∨{1 ( , ) R x y ∧2 ( , ) R y z |y∈Y} 当论域为有限时,模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成. 定义 5 :模糊关系 R是X 上的模糊关系,且满足: (1) 自反性: R(x,x) =1 ; (2) 对称性: R(x,y)=R(y,x); (3) 传递性: 2R ?R, 则称模糊关系 R是X 上的一个模糊等价关系. 命题 2:R是X 上的模糊等价关系当且仅当[0,1], R ??? ?是X 上的经典等价关系。第二部分模糊聚类分析基础模糊聚类分析就是通过构造模糊等价关系 R , 通过模糊等价关系 R 的??截矩阵实现聚类分析。其基本步骤如下: 第一步,数据标准化设论域 1 2 { , , , } n X x x x ?K 为被分类对象, 每个对象又由 m 个指标表示其性状: 1 2 { , , , } i i i im x x x x ?K i= 1, 2,…,n 于是, 得到原始数据矩阵为数据标准化的基本方法有: (1) 平移?标准差变换其中 jx =2 1 1 1 1 , ( ) n