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【例 1】如图,已知抛物线 21 y x ? ?与x 轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于点 C . ⑴求A 、B 、C 三点的坐标. ⑵过点 A 作 AP CB ∥交抛物线于点 P ,求四边形 ACBP 的面积. ⑶在x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M ,过 M 作 MG x ?轴于点 G , 使以 A 、M 、G 三点为顶点的三角形与 PCA ?,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由. x y O P C B A 【例 2】已知: m n 、是方程 2 6 5 0 x x ? ??的两个实数根,且 m n ?,抛物线 2 y x bx c ????的图像经过点??, 0 A m 、?? 0, B n . ⑴求这个抛物线的解析式; ⑵设⑴中抛物线与 x 轴的另一交点为 C ,抛物线的顶点为 D ,试求出点 C 、D 的坐标和 BCD ?的面积; ⑶P 是线段 OC 上的一点, 过点 P 作 PH x ?轴, 与抛物线交于 H 点, 若直线 BC 把 PCH ?分成面积之比为 2: 3 的两部分,请求出 P 点的坐标. 【例 3】如图,过 ABC ?的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,侧两条直线之间的距离叫 ABC ?的“水平宽”?? a , 中间的这条直线在 ABC ?内部线段的长度叫 ABC ?的“铅垂高?? h ”. 我们可得出一种计算三角形面积的新方法: 12 ABC S ah ??,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题:如图 12-2 ,抛物线顶点坐标为点?? 1 4 C, ,交x 轴于点?? 3 0 A, ,交 y 轴于点 B . (1 )求抛物线和直线 AB 的解析式; (2 )点P 是抛物线( 在第一象限内) 上的一个动点, 连结 PA , PB ,当P 点运动到顶点 C 时,求 CBA ?的铅垂高 CD 及 CAB S ?; (3 )是否存在一点 P ,使 98 PAB CAB S S ? ??,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【例 4】已知抛物线 22 y ax bx ? ??与x 轴相交于点 1 ( 0) A x , , 2 ( 0) B x , 1 2 ( ) x x ?,且 1 2 x x , 是方程 2 2 3 0 x x ? ??的两个实数根,点 C 为抛物线与 y 轴的交点. (1 )求 a b , 的值; (2 )分别求出直线 AC 和 BC 的解析式; (3 )若动直线(0 2) y m m ? ??与线段 AC BC , 分别相交于 D E , 两点,则在 x 轴上是否存在点 P , 使得 DEP △为等腰直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在【例 5】如图,抛物线 2122 y x bx ? ??与x 轴交于 A B , 两点,与 y 轴交于 C 点,且?? 1 0 A?, . (1 )求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标;) (2 )判断 ABC △的形状,证明你的结论; (3)点( 0) M m , 是x 轴上的一个动点,当 MC MD