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本章学****目标 1了解复变函数积分的概念;2了解复变函数积分的性质;3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西—古萨基本定理;5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式;7会求解析函数的高阶导数. 复变函数的积分? 复变函数积分的概念? 积分的定义?本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质, 我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。 积分存在的条件及其计算方法? 1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时,积分是一定存在的。? 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。?? udy vdx i vdy udx dzzf c c c????????????? t c t f z dz f z t z t dt ????? ?? ?? ? 积分的性质?从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质,它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的. ?,曲线的内部始终位于曲线的左方,,如无特别声明,总是指曲线的正向. 积分的性质?1 ?2 ?3 ?4 ???? dzzfk ???????; dzzf ???????????????; dzzg dzzf c?????????? ML ????例1计算其中为从原点到点的直线段。?解直线的方程可写成?又因为?容易验证,右边两个线积分都与路线无关, 所以的值无论是怎样的曲线都等于, dzz c? C i43?10,4,3????ttytx???????? 22 2 10 2 10 2432 10 1432 14343iti tdt i tdt idzz c??????????????? xdy ydx i ydy xdx idy dx iyx cc??????????? C dzz c? C?? 2432 1i?例2计算其中为以中心, 为半径的正向圆周, 为整数. 解: 的方程可写成所以因此 C?????????????????????????? 20 20 20 1110der ider ider ire zz dz in n inn c nin in C??, 10??? c nzz dz 0zr n,20, 0??????? i rezz???????????c nn nizz dz,0,0 ,0,2 10?例3计算的值,其中为沿从(0,0)到( 1,1)的线段: ?解: dzz c? C;10,,????ttytx????;121 10 10???????? tdt dti itt dzz c例4计算的值,其中为沿从(0,0)到( 1,1)的线段与从( 1, 0)到( 1,1)的线段所连结成的折线。?解: dzz c? C 1 2 c c c zdz zdz zdz ? ?? ???? ii idt itddt t???????????????? 12 12 1 1 10 10 柯西—古萨( Cauchy — Goursat ) 基本定理? 积分与路经无关问题?积分的值与路经无关,或沿封闭的曲线的积分值为零的条件,可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关. ?柯西—古萨( Cauchy — Goursat )基本定理如果函数在单连域内处处解析,那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即??? 0?? dzzf c