1-4b连续函数的局部性质及其初等函数在其定义域区间上的连续性.ppt

微积分讲课提纲微积分讲课提纲微积分( I) 浙江大学理学院讲课人:朱静芬 Email:******@zju. 第四节第四节函数的连续性函数的连续性一、一、函数连续的概念函数连续的概念二、二、连续函数的局部性质连续函数的局部性质三、三、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质四、四、初等函数在其定义域上的连续性初等函数在其定义域上的连续性二、二、连续函数的局部性质连续函数的局部性质局部有界性局部保号性不等式性质 1 1、连续函数的四则运算、连续函数的四则运算定理 1. )0)(()( )( ),()( ),()( ,)( ),( 0 0 0 处也连续在点则处连续在点若函数 x xgxg xfxgxfxgxf xxgxf???例如,,),( cos , sin 内连续在???? xx . csc , sec , cot , tan 在其定义域内连续故xxxx 因此,三角函数在其定义域内连续。 2 2、反函数与复合函数的连续性、反函数与复合函数的连续性定理 2 ,,]2 ,2 [ sin 上单调增加且连续在????xy.]1,1[ arcsin 上也是单调增加且连续在故??xy;]1,1[ os 上单调减少且连续在同理??xy.],[ cot , arctan 上单调且连续在??????x arc yxy 反三角函数在其定义域内连续. 定理 3 )].( lim [)( )]([ lim ,)(,)( lim 0 0 00 0 0xfufxf uuufux xx xx xx??????????则有连续在点函数若证,)( 0 连续在点 uuuf??.)()( ,,0,0 0 0 成立恒有时使当????????????ufuf uu,)( lim 0 0ux xx????又,0,0,0 0时使当对于?????????xx .)( 00 成立恒有??????uuux将上两步合起来:,0,0,0 0时使当??????????xx )( )]([)()( 0 0ufxfufuf????. 成立??)( )]([ lim 0 0ufxf xx????)].( lim [ 0xf xx???意义 ;. ))((.2 的理论依据变量代换 xu??例. )1 ln( lim 0x x x??? xxx 10)1 ln( lim ???原式])1( lim ln[ 10 xxx???e ln?)1 ln( ~:??xxx即. )]([ ,)(,)( ,)( 0 0 00 0 也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数 xxxfy uuufyux xxxu??????????定理 4注意 定理 4是定理 ,,),0()0,( 1 内连续在??????x u,),( sin 内连续在?????uy.),0()0,( 1 sin 内连续在???????x y 例. 1 lim 0x e xx??求解,1ye x??令),1 ln( yx???)1 ln( lim 0y y y???,0??yx时当 y yy 10)1 ln( 1 lim ???同理可得 x a xx1 lim 0??.01~: x??)1( ln~: x??xaax即 x e axx1 lim ln 0???. ln ln lim 0ax ax x???