1-4c闭区间上连续函数的性质.ppt

微积分讲课提纲微积分讲课提纲微积分( I) 浙江大学理学院讲课人:朱静芬 Email:******@zju. 第四节第四节函数极限函数极限一、一、函数连续的概念函数连续的概念二、二、连续函数的局部性质连续函数的局部性质三、三、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质四、四、初等函数在其定义域上的连续性初等函数在其定义域上的连续性一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义:.)()()( ))()(()()( , ),( 0 00 0值小上的最大在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间 Ixfxf xfxfxfxf IxIx xfI????设f(x ) ? C ( [ a, b ] ), 则(i) f(x ) 在[a, b ] 上为以下四种单调函数时 a Ob x ya Ob x yOab x yOab x y y = f (x ) ?[a, b ] , y = f(x ) ?[a, b ] , .)()( max ],[bfxf bax??,)()( min ],[afxf bax??, )()( max ],[afxf bax??.)()( min ],[bfxf bax??此时, 函数 f(x ) 恰好在[a, b ] 的端点 a 和b (ii) y = f (x ) 为一般的连续函数时},,,,,,, max{ max 654321 ],[ baaaaaaa bax mmmmmmmm??},,,,,,, min{ min 654321 ],[ baaaaaaa bax mmmmmmmm??x yaa 1a 2a 3a 4a 5a 6b m am b y = f (x)O 1am 2am 3am4am 5am 6am 例如,, sgn xy?,),(上在????,2 max?y;1 min??y,),0(上在??.1 min max??yy , sin 1xy??,]2,0[上在?;0 min?y,1 max?y 定理 1( 最大值和最小值定理) 2? 1? x yo )(xfy?).()( ),()( ],,[ ],,[, ],,[)( 2 1 21xff xff bax ba baCxf???????????有使得则若注意:, 定理不一定成立; 2. 若区间内有间断点, yo )(xfy?21 1x yo2 ?)(xfy?例如, y =x 在(1,3) 内连续,但它不能取到它的最大值和最小值. 证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[bax??,)(Mxfm??有},, max{ MmK?取.)(Kxf?则有.],[)( 上有界在函数 baxf? x yaa 1a 2a 3a 4a 5a 6b m am b y = f (x)O 1am 2am 3am4am 5am 6am 定理 2( 有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.