1-8函数的连续性.ppt

函数的连续性?函数的连续性?函数的间断点?四则运算的连续性?反函数与复合函数的连续性?初等函数的连续性一、函数的连续性 ., ),(,)()( 00 00 的增量称为自变量在点内有定义在设函数 xxxx xUxxUxf???????.)( ),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy????x y0x y0 0xxx?? 0)(xfy?x? 0xxx?? 0x? y? y?)(xfy? 1 设函数)(xf 在)( 0xU ?内有定义,如果当自变量的增量x?趋向于零时, 对应的函数的增量y?也趋向于零,即0 lim 0????y x 或0 )]()([ lim 000??????xfxxf x , 那末就称函数)(xf 在点0x 连续,0x 称为)(xf 的连续点., 0xxx???设),()( 0xfxfy???,0 0xxx???就是).()(0 0xfxfy???就是定义 2 设函数)(xf 在)( 0xU ?内有定义, 如果函数)(xf 当0xx?时的极限存在, 且等于它在点0x 处的函数值)( 0xf ,即)()( lim 0 0xfxf xx??那末就称函数)(xf 在点0x 连续.:"" 定义???.)()( ,,0,0 0 0????????????xfxf xx 恒有时使当例1. 0,0,0 ,0, 1 sin )( 处连续在试证函数?????????xx xx xxf 证,0 1 sin lim 0??x x x?,0)0(?f又由定义 )( 处连续在函数?xxf ),0()( lim 0fxf x?? ;)( ),()0(,],()( 0 000 处左连续在点则称且内有定义在若函数 xxf xfxfxaxf??定理. )()( 0 0 处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf?.)( ),()0(,),[)( 0 000 处右连续在点则称且内有定义在若函数 xxf xfxfbxxf??例2. 0,0,2 ,0,2)( 连续性处的在讨论函数?????????xxx xxxf 解)2( lim )( lim 00??????xxf xx2?),0(f?)2( lim )( lim 00??????xxf xx2??),0(f?右连续但不左连续,.0)( 处不连续在点故函数?xxf ,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)( ,, ,),( 上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间 baxf bxax ba??连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如,.),( 内是连续的有理函数在区间????例3.),( sin 内连续在区间函数证明?????xy 证),,( ?????x 任取 xxxy sin ) sin( ?????)2 cos( 2 sin 2 xx x?????,1)2 cos( ??? xx?.2 sin 2 xy ???则,0,时当对任意的???, sin ???有,2 sin 2x xy?????,0?????yx时当.),( sin 都是连续的对任意函数即??????xxy 二、函数的间断点:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)( lim )2( 0 存在 xf xx?).()( lim )3( 0 0xfxf xx??).()( ),()( , 0 0 或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只 xf xxxf