1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

2017 年2月18日星期六 1 蚌埠学院高等数学一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性三、小结与思考判断题第一章 2017 年2月18日星期六 2 蚌埠学院高等数学定理 xx cot , tan 在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理 ,差,积, ( 利用极限的四则运算法则证明) sin , cos x x 连续商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数. 例如,例如,xy sin ?在],[ 22 ???上连续单调递增, 其反函数 xy arcsin ?(递减). (证明略)在[-1,1] 上也连续单调递增. 递增(递减) 也连续单调 2017 年2月18日星期六 3 蚌埠学院高等数学定理 . xey?在),(????上连续单调递增, 其反函数 xy ln?在),0(??上也连续单调递增. 证:设函数)(xu?? 0,在点连续 x.)( 00ux?? 0 ( ) 函数在点连续, y = f x u .)()( lim 0 0ufuf uu??于是??)]([ lim 0xf xx?)( lim 0uf uu?)( 0uf?)]([ 0xf??故复合函数)]([xf? 又如,且即 2017 年2月18日星期六 4 蚌埠学院高等数学例如,x y 1 sin ?是由连续函数链),(, sin??????uuy, 1x u?*R?x 因此 x y 1 sin ?在*R?x 上连续. 复合而成,x yo x y 1 sin ? 2017 年2月18日星期六 5 蚌埠学院高等数学例1 .设( ) ( ) f x g x 与均在],[ba 上连续,证明函数??)(,)( max )(xgxfx??也在],[ba :? 2 1)(?x??)()(xgxf??)()(xgxf???)()()( 2 1xgxfx???)()(xgxf???根据连续函数运算法则,可知)(,)(xx??也在],[ba 上连续.??)(,)( min )(xgxfx?? 2017 年2月18日星期六 6 蚌埠学院高等数学二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,21xy??的连续区间为]1,1[?(端点为单侧连续)xy sin ln?的连续区间为 Znnn??,))12(,2(??1 cos ??xy 的定义域为 Znnx??,2?因此它无连续点而连续函数的反函数连续 2017 年2月18日星期六 7 蚌埠学院高等数学初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如,,)1( 32??xxy,1,0:??xxD及在0点的邻域内没有定义. [1, ) . ??. 初等函数求极限的方法:代入法. 例2. 0 limcos 1. xxe ??求 0 cos 1 1 e ? ??原式解 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x x ? ?? ? ?()定义区间 2017 年2月18日星期六 8 . )1( log lim 0x x ax??解:原式 xx ax 1)1( log lim 0???e a log ?a ln 1?. 1 lim 0x a xx??解:令,1?? xat 则,)1( log tx a??原式)1( log lim 0t t a t???a ln?说明:当,ea?时, 有0? x~)1 ln( x?~1? xe xx 2017 年2月18日星期六 9 蚌埠学院高等数学例5. 求.)21( lim sin 30 xx x??解:原式 e x0 lim ??)21 ln( sin 3x x?e x0 lim ?? x 36e?说明:若,0)( lim 0??xu xx 则有?????)()(1 lim 0xvxxxu ,)( lim 0???xv xxe??)(1 ln)( lim 0xuxv xx??e?)()( lim 0xuxv xx?x2? 2017 年2月18日星期六 10 蚌埠学院高等数学???????1,4 1,)(xx xxx?,1,2 1,)( 2???????xx xxxf 解: 讨论复合函数)]([xf?的连续性.?])([xf?? 1, 2?xx1,2???xx 故此时连续; 而)]([ lim 1xf x??