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1-9连续函数的运算1-10闭连性质.ppt


文档分类:高等教育 | 页数:约32页 举报非法文档有奖
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§ 内容回顾 0????? lim ,0,?,)0(?C,1,0 lim ??C k?? 1. 无穷小的比较设?,?对同一自变量的变化过程为无穷小, 且?是?的高阶无穷小?是?的低阶无穷小?是?的同阶无穷小?是?的等价无穷小?是?的k 阶无穷小,0时当? x常用等价无穷小:? sin ~ , x x arctan ~ , x x arcsin ~ , x x tan ~ , x x 1~ , x e x ? ln(1 ) ~ , x x ? 2 1 cos ~ , 2 xx?(1 ) 1~ . k x kx ? ?定理设,~???,~???且???? lim 存在(或为∞) , 则?? lim ????? lim (或为∞) § 内容回顾)()( lim 0 0xfxf xx??0 )]()([ lim 000??????xfxxf x)()()( 000 ????xfxfxf 左连续右连续)(.2xf 0x 第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(.1xf 0x在点连续的等价形式 0 lim 0 xy ??? ?确定函数间断点的类型. x xe xf ??? 11 1)( 解:间断点 1,0??xx)( lim 0xf x??,?? 0??x 为无穷间断点;,1时当?? x ??x x1 ,??0)(??xf,1时当?? x ??x x1 ,?? 1)(??xf 故1?x 为跳跃间断点. ,1,0处在?x .)(连续 xf 一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性§ 连续函数的运算与初等函数的连续性第一章定理 tan , cot ,sec ,csc x x x x 在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理 , 差, 积, ( 利用极限的四则运算法则证明)连续 xx cos , sin 商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数. 例如,例如,xy sin ?在],[ 22 ???上连续单调递增, 其反函数 xy arcsin ?(递减). (证明略)在[- 1 , 1] 上也连续单调递增. 递增(递减)也连续单调 x y a ?在),(????:先证明 0 lim 1. xxa ??(0,1), 1 . x x U a ? ? ???? ?????取,(0,),有 0 lim 1. xxa ??所以 1 xa?? ? 1 1 . xa ? ?? ???由得, (不妨设 a >1) log (1 ) log (1 ). a a x ? ?? ???? max{log (1 ) , log (1 )} a a ? ???? ??记?? 0< a <1 时,令1 ( 1) a b b ? ? 0 0 1 lim lim 1. xx x x ab ? ?? ? 0 lim 1( 0, 1) xx a a a ?? ??总之 0 1 ?? ? x y a ?在),(????:再证 00 lim . xx x x a a ?? 0 0 0 0 lim lim x x x x x x x x a a a ?? ?? 0 0 0 lim . x x tt a a a ?? ? x y a ?所以在 0x 0x 的任意性得,x y a ?在),(????上连续. 定理 3. 连续函数的复合函数是连续的. xey?在),(????上连续单调递增, 其反函数 xy ln?在),0(??上也连续单调递增. 证:设函数)(xu??, 0连续在点 x .)( 00ux?? 0 ( ) , y f u u ?函数在点连续.)()( lim 0 0ufuf uu??于是??)]([ lim 0xf xx?)( lim 0uf uu?)( 0uf?)]([ 0xf??故复合函数)]([xf?. 0连续

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  • 上传人yixingmaoj
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  • 时间2017-02-18