1.10连续函数的运算和性质.ppt

第十节连续函数的运算与性质定理 1若函数)( ),(xgxf 在点 0x 处连续, 则),()(xgxf?),()(xgxf?)( )(xg xf)0)(( 0?xg 在点 0x ,在, sin x x cos ),( ????内连续,故, cos sin tan x xx?, sin cos cot x xx?, cos 1 sec x x?x x sin 1 csc ?在其定义域内连续. 反函数的连续性定理 2若函数)(xfy?在区间 xI 上单调减少)且连续,则它的反函数)(yx??也在对应的区间} ),(|{ x yIxxfyyI???上调减少)(或单调增加(或单例如,xy sin ?在]2 ,2 [ ???上单调增加且连续,故 xy arcsin ?在]1,1[?上也是单调增加且连续. 同理xy os ?在]1,1[?上单调减少且连续;xy arctan ?在区间),( ????内单调增加且连续; 反函数的连续性定理 2若函数)(xfy?在区间 xI 上单调减少)且连续,则它的反函数)(yx??也在对应的区间} ),(|{ x yIxxfyyI???上调减少)(或单调增加(或单同理xy os ?在]1,1[?上单调减少且连续;xy arctan ?在区间),( ????内单调增加且连续; 反函数的连续性定理 2若函数)(xfy?在区间 xI 上单调减少)且连续,则它的反函数)(yx??也在对应的区间} ),(|{ x yIxxfyyI???上调减少)(或单调增加(或单同理xy os ?在]1,1[?上单调减少且连续;xy arctan ?在区间),( ????内单调增加且连续; 总之,反三角函数, arcsin x , os x , arctan xx arc cot arc y cot ?在区间),( ????内单调减少且连续. 复合函数的连续性定理 3 若,)( lim 0ax xx???函数)(uf 在点 a 处连续,则有)( )]([ lim 0afxf xx???)].( lim [ 0xf xx???证?)(uf 在点 au?处连续,?,0???,0???当???||au 时,恒有,|)()(|???afuf 又?,)( lim 0ax xx????对上述,?,0???当????||0 0xx 时, 恒有|||)(|auax????,??结合上述两步得,,0???,0???当复合函数的连续性结合上述两步得,,0???,0???当复合函数的连续性结合上述两步得,,0???,0???当,??????||0 0xx 时,恒有|)( )]([||)()(|afxfafuf?????)( )]([ lim 0afxf xx???)].( lim [ 0xf xx???意义 4设函数)(xu??在点 0x 处连续,且,)( 00ux??而函数)(ufy?在点 0uu?处连续, 极限符号可以与连续函数符号互换; ))((xu??的理论依据. 定理 3给出了变量代换复合函数的连续性定理 4设函数)(xu??在点 0x 处连续,且,)( 00ux??而函数)(ufy?在点 0uu?处连续, 复合函数的连续性定理 4设函数)(xu??在点 0x 处连续,且,)( 00ux??而函数)(ufy?在点 0uu?处连续, 则复合函数)]([xf?在点 0x 处也连续. 注意定理 4是定理 3的特殊情况. 例如,x u 1?在),0()0,( ?????内连续,uy sin ?在),( ????内连续,?x y 1 sin ?在),0()0,( ?????内连续. 例1 求. )1 ln( lim 0x x x??解x x x)1 ln( lim 0?? xxx 10)1 ln( lim ???????????? xxx 10)1( lim lne ln?.1?