1.3.1 导数在函数研究中的应用(1).doc

导数在函数研究中的应用—函数的单调性目标:应用导数判别函数的单调性一. 函数的单调性定义的回顾 1. 增函数的定义设函数)(xf 在区间 I 上有定义, 如果对于任意的? 21,xxI ,当 21xx?时, 都有)()( 21xfxf?, 则称函数)(xf 在区间 I 上为增函数, 相应的区间 I 则称为函数的递增区间. 直观上,函数)(xf 在区间 I 上为增函数,就是在区间 I 上函数值 y ))((xf?随着 x 的增大而增大,函数的图象(从左到右)不断地上升. 2. 减函数的定义设函数)(xf 在区间 I 上有定义, 如果对于任意的? 21,xxI ,当 21xx?时, 都有)()( 21xfxf?, 则称函数)(xf 在区间 I 上为减函数, 相应的区间 I 则称为函数的递减区间. 直观上,函数)(xf 在区间 I 上为减函数,就是在区间 I 上函数值 y ))((xf?随着 x 的增大而减小,函数的图象(从左到右)不断地下降. 3. 函数的单调性和单调区间如果函数)(xf 在区间 I 上为增函数或减函数, 那么就说函数)(xf 在区间 I 具有( 严格的) 单调性, 函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间. 注:确定函数的单调区间时,遵循最大化原则,单调区间的端点能闭则闭(连续的函数单调区间的端点都能取闭) . 4. 函数单调性的讨论或证明(三步走——老办法以后一般不用) 函数单调性的讨论或证明必须按定义的要求进行. 具体步骤如下: ①.设? 21,xx I ,且 21xx?; ②. 计算)()( 21xfxf?, 并讨论其符号, 以确定)()( 21xfxf?或)()( 21xfxf?; ③. 根据①②作出结论. 5. 复合函数的单调性(很多场合仍不失为一个很实用的方法) 给定函数)(ufy?,及函数)(xgu?,经复合后得到关于 x 的复合函数)]([xgfy?,设当 Ix?时,内函数)(xgu?单调,且相应的值域区间为E(E ={u |)(xgu?,Ix?}) ,如果外函数)(ufy?在Eu?时也是单调的,那么复合函数)]([xgfy?作为 x 的函数在 Ix?时也是单调的. 复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 6. 单调函数的有关结论.①. 增函数与增函数的和为增函数,减函数与减函数的和为减函数. 常数与增函数的和为增函数,常数与减函数的和为减函数; ②. 非零常数与单调函数的积仍为单调函数, 且若这个常数为正, 则单调性不变;若这个常数为负,则单调性改变; ③. 奇函数在关于原点对称的区域上有相同的单调性; ④. 偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性. 二. 应用导数判断函数的单调性应用导数对函数的单调性加以判断,而且在很多场合下更为方便. 考察下面的例子: 函数34)( 2????xxxfy 的图象如下图所示,考虑到曲线)(xfy?的切线的斜率就是函数)(xf 的导数,从图象上我们可以看到:在区间),2(??内,切线的斜率为正, 即0)(??xf ,这时)(xf 为增函数;在区间)2,( ??内,切线的斜率为负,即 0)(??xf , 这时)(xf 为减函数. 一般地,我们有如下的结论: 如果函数)(xfy?在开区间),(ba 内可导,且0)(??xf , 则函数)(xf 在开区间),(ba