1.5 可测集与可测函数(讲义).doc

1 可测集与可测函数 可测集与可测函数定义 设X 是基本空间, R 是X 上的??代数,且 E X E ??? R , 则称( , ) XR 是可测空间(measurable space) ,R 中的元素 E 是( , ) XR 上的可测集(measurable set) 。特别地, 当 1X?R ,? R L 时,称 1 ( , ) RL 是 Lebsgue 可测空间; Lebsgue 可测空间上的可测集称为 Lebsgue 可测集; 当 1X?R , ( ) = ? 0 R S R B 时,称 1 ( , ) RB 是 Borel 可测空间; Borel 可测空间上的可测集( 即: Borel 集) 称为 Borel 可测集. 注定义可测空间、可测集时,严格地说,并不要求在??代数R 上已经具有某个测度,即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念,这已是通行的看法。定义 设( , ) XR 是可测空间, E X ?,f 是定义在 E 上的有限实函数。若对一切实数c ,集( ) { ( ), } E c f x c f x x E ? ???都是( , ) XR 上的可测集(即: ( ) E c f ? ? R ) ,则称 f 是E 上关于R 的可测的函数,简称E 上的可测函数(measurable function) 。特别地, 当1 ( , ) ( , ) X?R R L 时,称 f 是E 上关于 L 的 Lebsgue 可测函数; 当1 ( , ) ( , ) X?R R B 时,称 f 是E 上关于 B 的 Borel 可测函数。定理 1 . 设( , ) XR 是可测空间, f 是定义在 E X ?上的有限实函数。则 f 是E 上的可测函数的充分必要条件是:对任意实数, c d ,集( ) E c f d ? ?是可测集。证设f 是可测函数,由于( ) ( ) ( ) E c f d E c f E d f ? ?????, 而( ) E c f ?和( ) E d f ?都是可测集,所以( ) E c f d ? ?是可测集。反之,若已知对任意实数, c d ,集( ) E c f d ? ?是可测集,则由 2 1 ( ) ( ) n E c f E c f c n ??? ? ????立即得( ) E c f ?是可测集。证毕! 例 定义在闭区间[ , ] E a b ?上的任何一个连续函数 f 都是E 上的 Lebsgue 可测函数。证对任意实数 c ,由f 的连续性,集( ) { ( ), [ , ]} E c f x c f x x a b ? ???是[ , ] a b 中的闭集(自****因此( ) E c f ?是可测集;故 f 都是[ , ] a b 上的可测函数。例 设函数 f 定义在( , ) E ????上, , ( 1,2, , ) i