1.5 连续性和间断点.ppt

二、函数的间断点一、函数连续性的定义第五节机动目录上页下页返回结束函数的连续性四、连续函数的性质三、初等函数的连续性可见, 函数)(xf 在点 0x 一、函数连续性的定义定义:)(xfy?在0x 的某邻域内有定义, ,)()( lim 0 0xfxf xx??则称函数.)( 0连续在xxf (1) )(xf 在点 0x 即)( 0xf (2) 极限)( lim 0xf xx?(3).)()( lim 0 0xfxf xx??设函数连续必须具备下列条件:存在; 且有定义,存在; 机动目录上页下页返回结束 continue )()( lim ,),( 0 0 0xPxPx xx????????若)(xf 在某区间上每一点都连续, 则称它在该区间上连续, 或称它为该区间上的连续函数..],[baC 又如,有理分式函数)( )()(xQ xPxR?在其定义域内连续. 在闭区间],[ba 上的连续函数的集合记作只要,0)( 0?xQ 都有)()( lim 0 0xRxR xx??机动目录上页下页返回结束对自变量的增量, 0xxx???有函数的增量)()( 0xfxfy???)()( 00xfxxf????)(xfy?xo y 0xx x? y?)()( lim 0 0xfxf xx??)()( lim 000xfxxf x?????0 )]()([ lim 0 00??????xfxxf x函数 0x )(xf在点连续有下列等价命题: 机动目录上页下页返回结束0 lim 0????y x 在在二、函数的间断点(1) 函数)(xf 0x (2) 函数)(xf 0x )( lim 0xf xx?不存在; (3) 函数)(xf 0x)( lim 0xf xx?存在,但)()( lim 0 0xfxf xx??不连续: 0x设 0x在点)(xf的某去心邻域内有定义, 则下列情形这样的点 0x 之一函数 f (x ) 在点虽有定义, 但虽有定义, 且称为间断点. 在无定义; 机动目录上页下页返回结束间断点分类: 第一类间断点: )( 0 ?xf及)( 0 ?xf均存在, ,)()( 00 ???xfxf若称 0x,)()( 00 ???xfxf若称 0x第二类间断点: )( 0 ?xf及)( 0 ?xf中至少一个不存在,称 0x若其中有一个为振荡,称 0x若其中有一个为,?. 机动目录上页下页返回结束 xy tan )1(? 2 ??x为其无穷间断点. 0?x为其振荡间断点. x y 1 sin )2(?1?x为可去间断点. 1 1)3( 2???x xyx o y1 例如:xy tan ? 2 ?x yox yx y 1 sin ?0 机动目录上页下页返回结束 1 )1(1)( lim 1fxf x???显然 1?x为其可去间断点. ???????1, 1,)( 2 1x xxxfy (4) x o y 2 11 (5) ????????????0,1 0,0 0,1)(xx x xxxfy x yo 11?,1)0(???f 1)0(??f0?x为其跳跃间断点. 机动目录上页下页返回结束三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性. 机动目录上页下页返回结束 1、最值定理定理 . 在该区间上一定有最大 2、零点存在定理定理 2.,],[)(baCxf?至少有一点,),(ba??且使x yo ab )(xfy??.0)(??f 0)()(?bfaf ( 证明略)3、介值定理设,],[)(baCxf?且,)(Aaf?,,)(BABbf??则对 A与B之间的任一数 C , 一点,),(ba?? Ab x o ya )(xfy?BC?使.)(Cf??至少有