1.5_函数的连续性(fin).ppt

1第五节函数的连续性函数的连续性函数的间断点闭区间上连续函数的性质 2 1. 连续的定义并称 x 0为函数 f(x)的连续点. 定义 若),()( lim 0 0xfxf xx??则称 f (x)在x 0点连续, f (x)在 0x点有定义; (1) )( lim 0xf xx?(3) ).( 0xf?三要素: )( lim 0xf xx?(2)存在; )( 定义???,0???,0???.)()( 0???xfxf有, 0时当???xx 一、函数的连续性 3 )()( 0xfxfy??? 0xxx???自变量在点的增量: 0x)()( 0 0xfxxf????函数相应于的增量: x?连续. 定义 ’,0 lim 0??y x??则称函数 f (x)在x 0点若极限与连续之间的关系: f (x)在x 0点连续 f (x)在x 0点存在极限??4 例 0,0,0 ,0, 1 sin )(?????????xx xx xxf在证??x x x1 sin lim 0,0)0(?)( 处连续在函数??xxf ),0()( lim 0fxf x???,0证明处连续. ??)( lim 0xf x?,0)( 处有定义在函数?xxf 5 (左、右连续) ),()( lim 0 0xfxf xx???若),()( lim 0 0xfxf xx???若处在点则称 0)(xxf左连续. 处在点则称 0)(xxf右连续. 0x左连续 0x右连续 x yOx yO 定义 定理处连续在 0)(xxf 处既左连续在 0)(xxf?. 又右连续(连续与左、右连续的关系) 6 例???????,1,1 ,1,)( 2xx xxxf 讨论解)( lim 1xf x ??2?),1(f?)( lim 1xf x ??),1(f?但不右连续. .1)( 点不连续在故函数?xxf )1( lim 1????x x1 lim 21????x x点在1)(?xxf所以左连续, .1 处的连续性在?xx yO1 ,1)1(?f,1)( 处有定义在?xxf 7 例, 取何值时当a解 xxf x x cos lim )( lim 0 0 ?????,1?)( lim )( lim 0 0xaxf x x??????,a?,)0(af??),0()( lim )( lim 0 0fxfxf x x??????必需且只需,1时故当?a .0)( 处连续在函数?xxf .1?,0, ,0, cos )( 处连续在函数????????xxxa xxxf,0)( 处连续在要使?xxf 8 2. 连续函数与连续区间则称 f (x) 若f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,且在 a点右连续, 在b点左连续, 称该区间为连续区间. 在开区间(a,b)内连续,若f(x)在开区间(a,b)内连续,则称 f (x)在闭区间[a,b]上连续. 所有在区间 I上连续的函数组成的集合记为 C(I ). 闭区间[a,b]上连续函数的全体记为 C[a,b]. 9 .),( sin 内连续在区间?????xy证),,( 0 ?????x 任取?02 cos 2 sin 2 0 0xxxx????.),( sin 内连续在即?????xy内在区间),( cos ?????xy 0 sin sinxx?类似可证, |||2 |2 0 0xx xx????连续. 例证明 0 sin sin lim 0 0???xx xx由夹逼定理, .0 sin sin lim 0 0???xx xx要证 10 )1,0(. lim 0 0????aaaa xxxx 0 0 lim xxxxaa??例证明证?.1 11nnna??1 lim 0???? xxa ??? xxa 0 lim tta 1 lim 0 ??,10时??a , 11 1n xn ???,10??x 对任何, 1 1 1n xnaaa???????tta 0 lim (夹逼定理) 必存在正整数 n,使得,1??? xxa 0 lim xxa)( 1 lim 10 ??.1?有 1 lim 0??? xxa (3) (1)(从某个 n开始) ,1时? lim 0??? xxa 1 lim 1???? nna 1)1( lim 000???? xxxxxaa