1.6函数的连续性1.doc

第六节函数的连续性教学目的:使学生理解函数连续性的概念(含左连续与右连续) ,会判断函数间断点的类型。教学重点:分段函数在分界点处的连续性教学过程: 一、讲解新课一、函数的连续性连续性是函数的重要性态之一,在实际问题中普遍存在连续性问题,从图形上看,函数的图象连绵不断。在数学上,我们有: 定义 1:设)(xfy?在 0x 的某邻域内有定义,若)()( lim 0xfxf xx??, 就称函数)(xfy?在 0x 点处连续注1:)(xf 在 0x 点连续,不仅要求)(xf 在 0x 点有意义, )( lim xf xx?存在,而且要)()( lim 0xfxf xx??,即极限值等于函数值。 2 : 若)()0()( lim 0xfxfxf xx??????, 就称)(xf 在 0x 点左连续。若)()0()( lim 0xfxfxf xx?????,就称)(xf 在 0x 点右连续。 3:如果)(xf 在区间 I 上的每一点处都连续,就称)(xf 在I 上连续;并称)(xf 为 I 上的连续函数;若 I 包含端点,那么)(xf 在左端点连续是指右连续,在右端点连续是指左连续。定义 1ˊ:设)(xfy?在 0x 的某邻域内有定义, 若对 0,0??????,当??? 0xx 时, 有???)()( 0xfxf ,就称)(xf 在 0x 点连续。下面再给出连续性定义的另一种形式: 先介绍增量:变量 x 由初值 1x 变到终值 2x ,终值 2x 与初值 1x 的差 12xx?称为 x 的增量,记为 x?,即??x 12xx?;x?可正、可负、也可为零,这些取决于 1x 与 2x 的大小。我们称 0xx?为自变量 x 在 0x 点的增量,记为 x?,即 0xxx???或xxx??? 0; 0 0????xxx 相应函数值差, )()( 0xfxf?称为函数)(xf 在 0x 点的增量,记为y?,即 00)()(yyxfxfy?????,即yxfxf???)()( 0或yyy??? 0, 00)()()()( 000?????????yxfxxfxfxf 。定义 1″:设)(xfy?在 0x 的某邻域内有定义,若当 0??x 时,有 0??y ,即 0 lim 0????y x,或0 )]()([ lim 000??????xfxxf x ,就称)(xf 在 0x 点连续。定理: )(xf 在 0x 点连续)(xf?在 0x 点既左连续,又右连续。【例 1】多项式函数在),( ????上是连续的;所以)()( lim 0xfxf xx??,有理函数在分母不等于零的点处是连续的,即在定义域内是连续的。【例 2】不难证明 xyxy cos , sin ??在),( ????上是连续的。【例 3】证明 xxf?)( 在0?x 点连续。证明: 0 lim lim ,0)( lim lim 000000?????????????xxxx xxxx ,又 0)0(?f ,所以由定理? xxf?)( 在0?x 点连续; )0(0 lim 0fx x???,所以?xxf?)( 在0?x 点连续。【例 4】讨论函数????????02 02xx xxy 在0?x 的连续性。解:220)2( lim lim ,220)2( lim lim 0000 0000??????????