1.6函数的连续性2.doc

第六节函数的连续性教学目的: 使学生了解连续函数的性质和初等函数的连续性; 并会应用函数的连续性求函数的极限教学重点:应用函数的连续性求函数的极限教学过程: 一、复****函数的连续性定义、间断点的分类二、讲解新课: 一、连续函数的运算定理 1( 连续函数的四则运算法则):若)( ),(xgxf 均在 0x 连续,则)()( ),()(xgxfxgxf??及)( )(xg xf (要求 0)( 0?xg )都在 0x 连续。定理 2 (反函数的连续性) :如果)(xfy?在区间 xI 上单值,单增(减) ,且连续,那么其反函数)(yx??也在对应的区间} ),({ xyIxxfyyI???上单值,单增(减),且连续。注1:)(xy??亦为)(xfy?的反函数,如上知: )(xy??在 yI 上有上述性质。定理 3:设)(xu??当 0xx?时的极限存在且等于 a ,即ax xx??)( lim ?, 又设)(ufy?在au?处连续,那么,当 0xx?时,复合函数))((xfy??的极限存在,且等于)(af ,即)( ))(( lim afxf xx???。注2:可类似讨论?? x 时的情形。定理 4 :设函数)(xu??在点 0xx?连续,且 00)(ux??,函数)(ufy?在 0u 点连续, 那么,复合函数))((xfy??在点 0xx?处连续。注3:定理 3、4说明 lim 与f 的次序可交换。注4:在定理 3中代入)( 00xua???,即得定理 4。【例 1】由于 mxy?(m 为正整数)在),0[ ??上严格单调且连续,由定理 2 ,其反函数 mxy 1?在),0[ ??上也严格单调且连续,进而:对于有理幂函数?xy?( qppp q,,0,???为正整数)在定义上是连续的。【例 2】求 x x x sin 2 lim 0??解:因为 1 sin lim 0??x x x,及 u?2 在1?u 点连续,故由定理 3,原式 112 sin lim 2 0??????x x x。二、初等函数的连续性我们已知道 xyxy cos , sin ??在其定义域内是连续的,由定理2知xg arcsin ?和xy os ?在其定义域也是连续的。可证明指数函数)1,0(???aaay x,在其定义域),( ????内是严格单调且连续的,进而有对数函数)1,0( log ???aaxy a在其定义域),0( ??是连续的。又 xaxy log ????(?为常数),由定理 4知: ?