1.8 闭区间上连续函数性质.ppt

第8节一、最大最小值定理二、介值定理闭区间上连续函数的性质第一章注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立. 一、最值定理定理 在闭区间上连续的函数即: 设,],[)(baCxf? x o yab )(xfy? 1? 2?则,],[, 21ba????使)( min )( 1xff bxa????)( max )( 2xff bxa????(证明略)点, 例如,)1,0(,??xxy 无最大值和最小值 x o y1 1???????????????21,3 1,1 10,1)(xx x xxxfx o y1 12 2 也无最大值和最小值又如,],[)(baxf在因此 bx o ya )(xfy? 1? 2? m M 定理 1 可知有,)( max ],[xfM bax??)( min ],[xfm bax??,],[bax??故证:设,],[)(baCxf?,)(Mxfm??、介值定理定理 . ( 零点定理),],[)(baCxf?至少有一点,),(ba??且使x yo ab )(xfy??.0)(??f 0)()(?bfaf ( 证明略) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理 . ( 介值定理) 设,],[)(baCxf?且,)(Aaf?,,)(BABbf??则对 A与B之间的任一数 C , 一点,),(ba??证:作辅助函数 Cxfx??)()(?则,],[)(baCx??且)()(ba??) )((CBCA??? 0?故由零点定理知, 至少有一点,),(ba??使,0)(???即.)(Cf?? Ab x o ya )(xfy?BC?使.)(Cf??至少有推论 1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。推论 2 闭区间上的不为常数的连续函数必把闭区间映射成闭区间。例 1. 证明方程 014 23???xx : 显然,]1,0[14)( 23Cxxxf????又,01)0(??f 02)1(???f 故据零点定理, 至少存在一点,)1,0(??使,0)(??f 即014 23?????在区间)1,0( 内至少有 0)()()( 21 2??xfxff?上连续, 且恒为正, 例 2. 设)(xf在],[ba对任意的,,),(, 21 21xxbaxx??必存在一点证: ,],[ 21xx??使.)()()( 21xfxff??令)()()()( 21 2xfxfxfxF??, 则],[)(baCxF?)()( 21xFxF )]()()([ 211 2xfxfxf??)]()()([ 212 2xfxfxf?)()( 21xfxf?? 221 )]()([xfxf?0?使,)()( 21时当xfxf?,0)(?xf?,0)()( 21??xFxF 故由零点定理知, 存在,),( 21xx??,0)(??F 即.)()()( 21xfxff??当)()( 21xfxf?时, 取 1x??或 2x??, 则有)()()( 21xfxff??证明: A的纸片(如图),:建立坐标系如图. x o y???则面积函数],[)(???CS?因,0)(??SAS?)(?故由介值定理可知:,),( 0?????.2 )( 0AS??使)(?S 则证明至少存在使提示: 令则易证例 ,]2,0[)(aCxf ?,)2()0(aff ?,],0[a ??.)()(aff ????,)()()(xfaxfx ????,],0[)(aCx ??0)()0( ?a ??