1.8_函数的连续性.ppt

1 /27 机动目录上页下页返回结束第八节函数的连续性第八节函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点 2 /27 机动目录上页下页返回结束前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等。在实际问题中,我们遇到的函数常常具有另一种重要特征。如运动着的质点,其位移S是时间 t的函数。当时间产生一微小的改变时,质点也将移动微小的距离(从其运动轨迹来看是一条连绵不断的曲线),函数的这种特征我们称之为函数的连续性。与之相对立的一个概念, 我们称之为间断。 3 /27 机动目录上页下页返回结束【定义 1】;)( 0 的某邻域内有定义在xxf 【注】 f (x)在x 0处连续的三个条件( 三条缺一不可);)( lim 0??xf xx ).()( lim 0 0xfxf xx??①②③,),()( 0 如果内有定义在设函数?xUxfy?)()( lim 0 0xfxf xx??则称函数 y = f (x ) 在点 x 0处连续. 4 /27 机动目录上页下页返回结束【例】0,0,0 ,0, 1 sin )( 处连续在试证函数?????????xx xx xxf 【证】,0 1 sin lim 0??x x x?,0)0(?f又由定义 1知0)( 处连续在函数?xxf ),0()( lim 0fxf x?? f (x ) 在x 0的邻域内显然有定义教材例 1、2讲解 5 /27 机动目录上页下页返回结束【单侧连续】)()( 00 处既左连续又右连续在处连续在xxfxxf?⑴【左连续】.)( ),()( ),()()( lim 000 00 0 左连续在点则称即存在且等于若xxfxfxf xfxfxf xx??????⑵【右连续】.)( ),()( ),()()( lim 000 00 0 右连续在点则称即存在且等于若xxfxfxf xfxfxf xx??????⑶【定理 1】 6 /27 机动目录上页下页返回结束【例】连续性处的在讨论函数 0,0,2 ,0,2)(?????????xxx xxxf 【解】)2( lim )( lim 00??????xxf xx2?),0(f?)2( lim )( lim 00??????xxf xx2??),0(f?右连续但不左连续, .0)( 处不连续在点故函数?xxf 教材例 3、4讲解 7 /27 机动目录上页下页返回结束 4.【连续函数与连续区间】在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)( ,, ,),( 上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间 baxf bxax ba??连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 【几何表现】].,[)(baCxf?记闭区间[a,b]上的连续函数的集合 8 /27 机动目录上页下页返回结束. , ),,(,),()( 0 00 0 0 增量的为自变量在点称时终值变到初值从当自变量内有定义在设函数 xxxxxx xUxxUxf???????函数的连续性 1.【增量】.)( ),()( 00 的增量相应于称为函数 xxfxfxxfy??????x y0x y0 0xxx?? 0)(xfy?x?xx?? 00x x? y? y?)(xfy?【增量的几何解释】 9 /27 机动目录上页下页返回结束【连续的定义】.)( ,0 )]()([ lim 0 lim ,0,0 0 000 0 处连续在点则称或即时若当 xxfy xfxxf yyx x x???????????????⑴【概念描述】..)( ,0 )]()([ lim lim ,),()( 00 0000 0 称为连续点处连续在点则称如果内有定义在设函数 xxxfy xfxxfy xUxfy xx?????????????⑵【定义 3】, 0xxx???设),()( 0xfxfy???,0 0xxx???就是).()(0 0xfxfy???就是: 故定义又可叙述为 10 /27 机动目录上页下页返回结束函数的间断点;)( 0 的某邻域内有定义在xxf;)( lim 0??xf xx ).()( lim 0 0xfxf xx??①②③【描述】如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称函数 f (x ) 在点 x 0处不连续(或间断), 并称点 x 0 为 f (x ) 的不连续点(或间断点). 函数 f (x ) 在点 x 0处连续必须满足的三个条件