1.8_函数的连续性2.ppt

2017 年2月18日星期六 1 返回上页下页目录第八节函数的连续性与间断点第一章( Continuity and Discontinuity of Function ) 三、函数的间断点二、函数的连续性一、问题的提出四、小结与思考题 2017 年2月18日星期六 2 返回上页下页目录一、问题的提出( Introduction ) 0 T (时间) 温度 C414 24 一天的气温是连续地变化着,体现函数的连续性 2017 年2月18日星期六 3 返回上页下页目录二、函数的连续性( Continuity of Function ) 2017 年2月18日星期六 4 返回上页下页目录 2. 连续的定义( Definition of Continuity ) 2017 年2月18日星期六 5 返回上页下页目录)(xfy?在0x 的某邻域内有定义, ,)()( lim 0 0xfxf xx??则称函数.)( 0连续在xxf 设函数且定义 22017 年2月18日星期六 6 返回上页下页目录 3. 单侧连续(One-sided Continuity) 左连续(Left Continuity) : ??)( 0xf 00 lim ( ) ( ) x xx f x f ???,0???,0???当),( 00xxx???时, 有 0( ( ) . ) f x f x?? ?右连续(Right Continuity) : ??)( 0xf 00 lim ( ) ( ) x xx f x f ???,0???,0???当),( 00???xxx时, 有 0( ( ) . ) f x f x?? ?定理 00 lim ( ) ( ) x xxffx ?? 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f fxx ? ?? ?? ?与单侧极限相类似! 2017 年2月18日星期六 7 返回上页下页目录 4. 连续函数(Continuous Function) 若)(xf 在某区间上每一点都连续, 则称它在该区间上连续, ,那么(1)函数在左端点连续是指在左端点右连续, (2)函数在右端点连续是指在右端点左连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .],[baC 在闭区间],[ba 上的连续函数的集合记作 2017 年2月18日星期六 8 返回上页下页目录)()( lim ,),( 0 0 0xPxPx xx???????? nnxaxaaxP????? 10)( 在),(????上连续. ( 有理整函数) 又如,有理分式函数)( )()(xQ xPxR?在其定义域内连续. 只要,0)( 0?xQ 都有)()( lim 0 0xRxR xx??例如,2017 年2月18日星期六 9 返回上页下页目录xy sin ?在),(????内连续. 证: ),(??????xxxxy sin ) sin( ?????) cos( sin 2 22 xxx ???? 2 2 2 sin cos( ) x x y x ? ?? ? ?? 12 2???xx?? 0??x 即0 lim 0????y x 这说明 xy sin ?在),(????内连续. 同样可证: 函数 xy cos ?在),(???? 例1 证明函数 2017 年2月18日星期六 10 返回上页下页目录 2 1, 0 3 1, < 0 x x y x x ? ?????? 0x? 0 0 lim lim(3 1) 0 1 1 x x y x ? ?? ?? ????? 0 0 lim lim(2 1) 0 1 1 x x y x ? ?? ?? ???? 0x?(0) 1 (0 ) f f ?? ? y0x?例2讨论函数在处的连续性. 解由于即左右极限不相等,所以该函数在但是,因为点不连续. ,所以函数在处右连续.