1.9 函数的连续性与间断点.ppt

函数的连续性与间断点 1 判断间断点的类型教学要求:理解函数连续的概念, 会判断函数间断点的类型重点内容: 2 根据连续性确定某些数的取值一、函数的连续性 . , ),,(,),()( 0 0 0 0 的增量称为自变量在点内有定义在设函数 x xxx xUx xUxf???????.)( ),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy????x y0x y0 0xxx?? 0)(xfy?x? 0xxx?? 0x? y? y?)(xfy?注:增量可为正亦可为负例1:设函数 2xy?,求当 ,2 0????xx函数 y 的增量时解)()( 0 0xfxxfy?????39 . 22???? , 0xxx???设),()( 0xfxfy???,0 0xxx???就是).()(0 0xfxfy???就是 0 lim 0????y x)()( lim 0 0xfxf xx??:"" 定义???.)()( ,,0,0 0 0????????????xfxf xx 恒有时使当注意:函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关?处连续在点 0)(xxf 例2. 0,0,0 ,0, 1 sin )( 处连续在试证函数?????????xx xx xxf 证,0 1 sin lim 0??x x x?,0)0(?f又由定义 )( 处连续在函数?xxf ),0()( lim 0fxf x??例3)(xf 是定义于],[ba 上的单调增加函数, ),,( 0bax?若)( lim 0xf xx?存在, 证设,)( lim 0Axf xx??由于)(xf 单调增加, 则当0xx?时, ),()( 0xfxf?),()( lim 0 0xfxfA xx????当0xx?时, ),()( 0xfxf?),()( lim 0 0xfxfA xx????由此可见, ),( 0xfA?即),()( lim 0 0xfxf xx??因此)(xf 在0x 连续. 证明)(xf 在0x 连续. ;)( ),()(,],()( 处左连续在点则称且内有定义在若函数 0 0 0 00 xxf xfxfxaxf??定理. )()( 0 0 处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf?.)( ),()(,),[)( 处右连续在点则称且内有定义在若函数 0 0 0 00 xxf xfxfbxxf??例4. 0,0,2 ,0,2)( 连续性处的在讨论函数?????????xxx xxxf 解)2( lim )( lim 00??????xxf xx2?),0(f?)2( lim )( lim 00??????xxf xx2??),0(f?右连续但不左连续,.0)( 处不连续在点故函数?xxf ,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续..],[)( ,, ,),( 上连续在闭区间函数则称处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间 baxf bxax ba??连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如,.),( 内是连续的有理函数在区间????