1 一、连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 2 0 0 0 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) . ( ) f x g x x f x g x f x f x g x g x x g x ?? ???????????????????? sin cos ( , ) x x ????????????? tan cot sec csc . x x x x ???????????????一、连续函数的和、差、积、商的连续性 3 问题: 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x g x x f x g x x ???????????????????? 00 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x x f x g x f x g x x ??????????????????? 1, 0 1, 0 ( ) , ( ) 0 1, 0 1, 0 x x f x g x x x x ? ? ?? ?? ??? ?? ??? ???????????00)()(???xxgxf 一定不连续可能连续,可能不连续 4 1 , 0 ( ) , 1, 0 x f x xx ???????? sin , 0 ( ) ( ) 1, 0 xx f x g x xx ???????? 0x?????? 0x?????? sin , 0 ( ) , 1, 0 x x g x x ?????? 0 . x????5 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, ,]2 ,2 [ sin?????????????xy arcsin [ 1,1] . y x ? ????????????? os [ 1,1] ; y x ? ?????????????.),( cot , arctan ?????????????x arc yxy总结:三角函数与反三角函数在其定义域内皆连续. 二、反函数与复合函数的连续性定理 26 0 0 0 lim [ ( )] [ lim ( ) , ( ) lim ( lim )).((]) xa x x x x x uf x a f u a f u f a x f x ? ???????? ???????????????,)(???? auuf?? 0, 0, ( ) ( ) . u a f u f a ? ? ???????????????? 0 lim ( ) x x x a ????? 0, 0, ? ?? ??????? 0 0, 0 ( ) . x x x a u a ? ???? ? ??????????? 0 0, 0, 0 , x x ? ? ?? ???????????[ ( )] ( ) = ( ) ( ) . f x f a f u f a ? ?? ??)( )]([ lim 0afxf xx????)].( lim [xf xx? 0??7 意义????????????????? 2. ( ( )) . u x ???????????例1. )1 ln( lim 0x x x???.1? xxx 10)1 ln( lim ?????])1( lim ln[ 10 xxx???e ln?解8
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