10 第十节 函数的连续性与间断点.doc

第十节函数的连续与间断客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的, 而且其运动变化的过程往往是连绵不断的, 比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等, 这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型. 16、 17 世纪微积分的酝酿和产生, 直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到 19 世纪以前,数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上, 即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19 世纪中叶,在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后,才对连续函数作出了严格的数学表述. 连续函数不仅是微积分的研究对象,而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等,往往都要求函数具有连续性. 本节和下一节将以极限为基础, 介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质. 内容分布图示★函数的连续性★例1★例2 ★左右连续★例3★例4 ★例5★例6 ★连续函数与连续区间★例7 ★函数的间断点★例8★例9 ★例 10★例 11★例 12 ★例 13★例 14 ★内容小结★课堂练********题 1-10 ★返回内容要点: 一、函数的连续性:函数的增量连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理 1 函数)(xf 在0x 处连续的充要条件是函数)(xf 在0x 处既左连续又右连续. 三、连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类: 第一类间断点跳跃间断点可去间断点; 第二类间断点无穷间断点振荡间断点; 例题选讲: 函数的连续性例1 (讲义例 1) 试证函数????????,0,0 ,0, 1 sin )(x xx xxf 在0?x 处连续. 例2设)(xf 是定义于[a,b] 上的单调增加函数, ),,( 0bax?如果)( lim xf xx?存在, 试证明函数)(xf 在点 0x 处连续. 例3 (讲义例 4) 讨论????????,0,2 ,0,2)(xx xxxf 在0?x 处的连续性. 例4 讨论函数????????????????1,4 10,1 0,0 0,2/1)( 2xx xx x xxxf 在0?x 和1?x 处的连续性. 左右连续例5 (讲义例 2) 已知函数????????0,2 0,1)( 2xbx xxxf 在点 0?x 处连续,求 b 的值. 例6设??????????????,1,2 ,2,1,)2 )(1( )( 4x xxxx bax xxf 为使)(xf 在1?x 处连线, a 与b 应如何取值? 连续函数与连续区间例7 (讲义例 3) 证明函数 xy sin ?在区间),(????内连续. 例8 讨论函数????????,0,1 ,0,)(xx xxxf 在0?x 处的连续性. 函数间断点及其分类例9 (讲义例 5) 讨论函数???????????1,1 1,1 10,2)(xx x