10-函数的连续性.ppt

高等院校非数学类本科数学课程————一元微积分学一元微积分学高高等等数数学学 A A ( (1 1) ) 第十讲第十讲函数的连续性函数的连续性授课教师:彭亚新第三章函数的连续性本章学****要求: ?理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数间断点的类型。?了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。第三章函数的连续性第一、二节函数的连续性及其性质一、连续函数的概念二. 函数的间断点 、连续函数的概念极限形式增量形式设f(x ) 在 U( x 0 ) 内有定义,若)()( lim 0 0xfxf xx??则称函数 f(x ) 在点 x 0 处是连续的. (极限形式) 可减弱: x 0 为聚点函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的. 定义定义是整个邻域函数 f( x ) 在点 x 0 处连续, 应该满足以下三点: (1) f (x ) 在 U( x 0 ) 内有定义(包括在点 x 0 处有定义).)()3( 0xfa?(极限值等于函数在点 x 0 处的函数值) )( lim )2( 0; 存在 axf xx??))(,( 0 有极限时xfxx?函数 y = x 2 在点 x = 0 处是否连续? 0 lim 20??x x?函数 y = x 2 在点 x = 0 处连续. 又且 0 0 20????xxxy? y = x 2 在 U(0) 内有定义, 例1解函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以运用《???》语言描述它. 《?-?语言》形式设函数 f (x ) 在 U( x 0 ) 内有定义.????, 若????, 当| x ?x 0 | < ?时, 有则称函数 f (x ) 在点 x 0 处是连续的. | f (x ) ?f(x 0 ) | < ?成立, 0xxx???)()( 0xfxfy???定义定义 , 变量 u 的终值 u 2 与它的初值 u 1 的差 u 2 ?u 1, 称为变量 u 在u 1处的增量, 记为?u = u 2-u 1. 定义定义?u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称?u 为变量 u 在u 1 处的差分. 设函数 f (x ) 在 U( x 0)内有定义, x? U( x 0 ) , 则称? x = x ?x 0 为自变量 x 在 x 0 点处的增量. = f(x 0 + ?x ) ?f(x 0 ). ? y = f(x ) ?f(x 0 ) ?x ?yO x 0xx y y = f(x)此时, x = x 0 + ? x , 相应地, 函数在点 x 0 点处有增量?y, 且