10.2-2一阶微分方程.ppt

1 /18 设连续函数 f ( x ),满足,求)()()(2 2xf dttfx xf x???解:求导得)()()(xfxfxxf????即: dx xy dy2??解之: 2x cy?又由 2-2 f (2)=0 可得: f ( 2 )=1 42 1 2????c c 24x y??积分: cxy ln ln2 ln??? Basic concept of differential equations 三、齐次方程三、齐次方程一、一阶微分方程的形式一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程 3 /18 方程中 f ( x ,y )就是零次齐次函数二、齐次方程)(x yfdx dy?,x yu?作变量代换,xu y?即代入原式得,dx du xudx dy???),(ufdx du xu?? 0)( 22??? xydy dx yx yx yx dx dy???齐次函数概念? 要分清新老变量! 关于 u的微分方程 4 /18 用“-”不用“+”代入原式得),(ufdx du xu??. )(x uufdx du??即.)(x dx uuf du??2)求解:分离变量???) (uuf du u)( )(?, )(u Ce x ??即积分得: cxu ln ln)(???可分离变量的方程,? 3)将代入 yux, )(x y Ce x ??得通解 5 /18 cos ) cos (???dyx yxdx x yyx, 令x yu?, 则 udx xdu dy??,0)( cos ) cos (????xdu udx uxdx u ux x, cos x dx udu ??, ln sin Cxu???. ln sinCxx y???微分方程的解为解例2求解微分方程)0( 22??????xyxyyx 6 /18 21 ,1uu dx du xu????) 代入方程( x dx u du?? 21 分离变量得: cxu ln ln arcsin ??积分得: 微分方程的解为 x yecx arcsin ?? uecxuc x arcsin arcsin ln?? xuyx yu??则令, ,dx du xudx dy??且例2求解微分方程)0( 22??????xyxyyx解 2)(1x yx ydx dy???(1) 7 /18 dx du xu dx dy ux yx yu????,令代入原方程 1 2???u u dx du xu dx x du u u11??化简,分离变量得 cxuu ln ln ln,???积分 u ce xu uc xu???即 ln原方程的通解为 x yecy?? 1 )( 22 2????x y x yx xy y dx dy 原方程化为: 对不好判断的微分方程,先化为正规型. 3 22 的通解求例yyxyyx ???? 8 /18)()(xQyxPdx dy??一阶线性微分方程的标准形式:,0)(?.,0)(?xQ当三、一阶线性方程例如, 2xydx dy??, sin 2ttxdt dx??,32???xy yy ,1 cos ???yy 线性的;非线性的. 未知函数及导数都是一次的 9 /)(??yxPdx dy,)(dx xPy dy??,)(????dx xPy dy, ln)( lnC dx xPy????齐次方程的通解为. )(??? dx xP Ce y 1. 线性齐次方程的通解. 一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)例1 .01 2 的通解求方程????x yy解1:分离变量 dx x dy y1 21?? 10 /18 ,1 2)(???x xP2 1 2)()1(????????xcececy dx x dx xp解2: 两端积分得: cxy ln)1 ln( 2 ln??? 2)1(???xCy.)1( 2 为所求通解???xcy2. 线性非齐次方程的通解).()(xQyxPdx dy????? dx xPexuy )()( 猜测其解可能是当u(x)=?时, y 真的是解。, )]( )[()( )()(????????dx xP dx xPexPxuexuy