10、1 对弧长的曲线积分.doc

§ 对弧长的曲线积分一、概念的引进假设 xoy 面内有一段曲线弧 L 具有质量,在L 上任一点(,)xy 处的线密度为?(,)xy ,且?(,)xy 在L 上连续,A 与B 分别是弧 L 的端点, 现计算弧 L 的质量 m 。在L 上任意地插入 n?1 个分点 AMMMMMMB iinn???? 0111,,,,,,,??将L 分划成 n 个小弧段。对于第 i 个小弧段弧Mi Mi?1 , 由于线密度函数?(,)xy 在 L 上连续, 当该小弧段的长度充分小时, 它的质量近似地等于?????(,)(,) ,iiiii Mi Mi si Mi Mis?????弧表示弧的长度 11 于是, 整个曲线弧 L 的质量近似值为 ms iiii n???????(,)? 1 用?表示这 n 个小弧段长度的最大者,即???? max {} 1in is?为了得到质量 m 的精确值, 只需对上述和式取极限,令??0 , 即ms iiii n????? lim (,) ???? 01?(1) 撇开上例的物理意义, 我们引入对弧长的曲线积分的概念。【定义】设L 为 xoy 面内的一条光滑曲线弧, 函数fxy(,) 在L 上有界,在L 内任意地插入n?1 点,AMMMMMMB iinn???? 0111,,,,,,,??它把L 分成n 个小弧段, 设第i 个小段弧Mi Mi?1 的长度为?s i ,(,)?? ii 为弧Mi Mi?1 上任取的一点,记???? max {} 1in is?作和式 fs iiii n(,)?????? 1 如果极限 lim (,) ??????? 01fs iiii n?存在, 这个极限值就叫做函数 fxy(,) 在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分, 记作fxyds L(,)?。亦即fxy dsfs L iiii n(,) lim (,)????????? 01?其中:fxy(,) 叫做被积函数,L 叫做积分弧段。注记:1、fxyds L(,)?中的被积函数 fxy(,) 的定义域为 L 上的一切点。 2 、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形, 设?是空间的一条光滑曲线, 函数fxyz(,,) 在?上有界,则fxyz dsfs iiiii n(,,) lim (,,) ???????????? 01 3 、若L 为一条封闭曲线, 一般将 fxyds L(,)?记为? L dsyxf),( 。二、对弧长的曲线积分的性质利用对弧长的曲线积分定义, 我们可以证明下述性质 1、[(,)(, )](,)(,)fxygxydsfxydsgxyds LLL?????? 2 、若k 为常数,????? L L dsyxfk dsyxfk),(),( 3、的长度 L ds L?? 4 、若在 L 上,fxygxy(,)(,)?,则fxydsgxyds LL(,)(,)??? 5 、若LLL?? 12 ,则fxydsfxydsfxyds LLL(,)(,)(,)????? 12 上述性质均不加以证明, 有兴趣的同学可以查阅有关书籍。三、对弧长曲线积分的计算法假设曲线 L 由参数方程 xtytt????????(),()() 给出, 且函数??(),()tt 在[,]??上具有一阶连续导数; 函数fxy(,) 在L 上连续; 当参数 t 由?变至?时,