11-3函数项级数.ppt

高等数学(下) 河海大学理学院第三节幂级数高等数学(下) 一、函数项级数的概念 :,1 20????????xxx n n 例如级数高等数学(下) : 如果Ix? 0 , 数项级数???1 0)( n nxu 收敛, 则称0x 为级数)( 1xu n n???的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数)( 1xu n n???的所有收敛点的全体称为收敛域, 高等数学(下) )()( lim xsxs nn???函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxr nn??(x 在收敛域上)0)( lim ???xr nn注意函数项级数在某点 x 的收敛问题, 实质上是数项级数的收敛问题. :???????)()()()( 21xuxuxuxs n 在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数)(xs , 称)(xs 为函数项级数的和函数. ),(xs n 高等数学(下) 例1 求级数nn nxn )1 1( )1( 1?????)( )( 1xu xu n n?xn n????1 11 )(1 1????nx,11 1)1(??x 当,20时或即???xx 原级数绝对收敛.,11???x ?? 1???xI 高等数学(下) ,11 1)2(??x 当,11???x,02时即???x 原级数发散.,0时当?x???? 1)1( n nn 级数收敛;,2时当??x???11 nn 级数发散; );,[),( ??????02 故级数的收敛域为,1|1|)3(??x当,20????xx或??,1???xI又).,(),(0112????发散域为高等数学(下) 二、幂级数及其收敛性 : 形如nn nxxa)( 0 0????的级数称为幂级数.,,0 0 0 nn nxax????时当 :,1 20????????xxx n n 例如级数;,1 收敛时当?x;,1 发散时当?x );1,1(?收敛域);,1[]1,( ??????发散域高等数学(下) 定理 1 ( Abel 定理) (1) 如果级数???0n nnxa 在)0( 00??xxx 处收敛,则对一切满足不等式 0xx?的点x ,该级数绝对收敛; (2) 如果级数???0n nnxa 在0xx?处发散, 则对一切满足不等式0xx?的点x ,该级数都发散. 证明,0 lim 0???? nnnxa,)1( 0 0 收敛???n nnxa?高等数学(下) ),2,1,0( 0???nMxa nn 使得,M? n nnn nnx xxaxa 0 0?? nnnx xxa 0 0?? nx xM 0?,1 0时当?x x?, 00 收敛等比级数 nnx xM???, 0 收敛???? n nnxa; 0 收敛即级数???n nnxa 高等数学(下) ,)2( 0 时发散假设当 xx?反设有一点1x 满足01xx?使级数收敛, 则级数当0xx?时应收敛, (1) 结论, 幂级数收敛域的可能情形: ①显然???0n nnxa 在x = 0处收敛, 若找不到其它非零的收敛点,则此幂级数的收敛域为{0} .