11-3高等数学同济大学第六版本.doc

****题 11?31?求下列幂级数的收敛域?(1) x?2x 2?3x 3?????nx n?????解1 1 lim || lim 1????????n na a nn nn ?故收敛半径为 R?1?因为当 x ?1时?幂级数成为???1nn ?是发散的?当x ??1时?幂级数成为???? 1)1( n nn ?也是发散的?所以收敛域为(?1?1)?(2))1(2 1 22 2????????????n xxx nn ?解1)1( lim 1 )1( 1 lim || lim 2 22 21????????????n nn na a nnn nn ?故收敛半径为 R ?1 ?因为当x ?1时?幂级数成为???? 2 21)1( n nn ?是收敛的?当x ??1时?幂级数成为???? 1 211 nn ?也是收敛的?所以收敛域为[ ?1 ?1] ?(3))2(42642422 32??????????????????n xxxx n ?解0)1(2 1 lim )!1(2 !2 lim || lim 1 1????????????????nn na a n n nnn nn ?故收敛半径为 R????收敛域为(?????)?(4)33332 31 3 32 2??????????????? n nn xxxx ?解3 113 1 lim 3)1( 3 lim || lim 1 1????????????????n nn na a n n nnn nn ?故收敛半径为 R?3?因为当 x ?3时?幂级数成为???11 nn ?是发散的?当x ??3时?幂级数成为???? 11)1( n nn ?也是收敛的?所以收敛域为[ ?3 ?3) ?(5)1 210 25 22 2 2 3 32 2???????????? n nxn xxx ?解21)1( 1 lim 22 11)1( 2 lim || lim 2 222 11??????????????????n nnn a a n n nnn nn ?故收敛半径为 2 1?R ?因为当 2 1?x 时?幂级数成为???? 1 21 1 nn ?是收敛的?当x ??1时?幂级数成为????? 1 21 1)1( n nn ?也是收敛的?所以收敛域为]2 1,2 1[??(6)?????? 1 1212 )1( n nnn x ?解这里级数的一般项为 12 )1( 12????n xu nnn ?因为 212 321| 1232 | lim || limxx nn xu u n nnn nn?????????????由比值审敛法?当 x 2?1?即|x|?1时?幂级数绝对收敛?当 x 2?1?即|x|?1时?幂级数发散?故收敛半径为 R?1?因为当x ?1时?幂级数成为????? 112 1)1( n nn ?是收敛的?当x ??1时?幂级数成为?????? 1 112 1)1( n nn ?也是收敛的?所以收敛域为[ ?1 ?1] ?(7)????? 1 222 12 n nnx n ?解这里级数的一般项为 222 12 ??? nn nx nu ?因为 2221 212 1|)12( 22 )12(| lim || limxxn xnu u n nn nnn nn?????????????由比值审敛法?当 1