11-XT.ppt

常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一般项级数一般项级数正项级数正项级数幂级数幂级数三角级数三角级数收敛半径R 收敛半径R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函数函数数数任意项级数任意项级数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数 0)(? xR 为常数 nu)(xuu nn 为函数满足狄氏条件 0xx?取在收敛级数与数条件下相互转化???1n nu 一、主要内容??????????? n n nuuuuu 3211 1、常数项级数常数项级数收敛( 发散)? nns ?? lim 存在( 不存在).??????? ni innuuuus 1 21?级数的部分和定义级数的收敛与发散性质 1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质 3: 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和..0 lim ??? nnu 级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质常数项级数审敛法正项级数任意项级数 (莱布尼茨定理) ;;, 则级数收敛若SS n?;,0, 则级数发散当??? nun 一般项级数 , 1???? nn nuu. 有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns? 2、正项级数及其审敛法审敛法(1) 比较审敛法若???1n nu 收敛(发散)且)( nnnnvuuv??, 则???1n nv 收敛( 发散) .(2) 比较审敛法的极限形式设???1n nu 与???1n nv 都是正项级数, 如果lv u n nn??? lim , 则(1) 当????l0 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当0?l 时,若???1n nv 收敛,则???1n nu 收敛; (3) 当???l 时, 若???1n nv 发散,则???1n nu 发散; 设???1n nu 为正项级数, 如果0 lim ????l nu nn (或???? nn nu lim ), 则级数???1n nu 发散; 如果有1?p , 使得n pnun ?? lim 存在, 则级数???1n nu 收敛. (3) 极限审敛法(4) 比值审敛法( 达朗贝尔D’ Alembert判别法) 设???1n nu 是正项级数, 如果)( lim 1????????数或 n nnu u 则1??时级数收敛;1??时级数发散; 1??时失效. (5) 根值审敛法( 柯西判别法) 设???1n nu 是正项级数, 如果???? nnnu lim )(??为数或?, 则1??时级数收敛;1??时级数发散;1??时失效. 定义正、负项相间的级数称为交错级数.? nn nnn nuu????????? 11 1)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (ⅰ)),3,2,1( 1????nuu nn ;(ⅱ)0 lim ??? nnu ,则级数收敛, 且其和1us?, 其余项nr 的绝对值1?? nnur .)0(? nu 其中 3、交错级数及其审敛法定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理若???1n nu 收敛,则???1n nu 收敛. 定义:若???1n nu 收敛, 则称???0n nu 为绝对收敛; 若???1n nu 发散,而???1n nu 收敛, 则称???1n nu 、任意项级数及其审敛法