计算流体力学.doc

CFD数值模拟实验指导书
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CFD数值模拟实验指导书
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第一部分 计算流体力学（CFD的基本思想
—、什么是计算流体力学（CFD ？
计算流体力学（Computational Fluid Dynami控制方程的偏导数用离散点之间的有限变化来代替， 例如，表示速度梯度的导数 ？u/?x
用差商Aj/ Ax来代替，其中 Aj和》分别是x坐标方向的两个相邻的点的速度差和坐标 x
的增量。可以想象，如果控制微分方程中的所有导数或偏导数都被类似于差商的量代替的话， 偏微分方程将有可能变成一个线性方程， 一个只包含离散点的坐标和待求函数值 （如上述的
u）的线性方程。事实上，我们可以把流动控制方程组的每一个偏微分方程在每一个离散点 上转变为一个线性方程。 假如我们用100个点离散一个计算域， 那么对每个偏微分方程我们 将得到100个线性方程。至此，偏微分方程的求解已经转化为线性方程组的求解，如果得到 线性方程组的解，我们就得到了偏微分方程组的近似数值解。因此，我们也可以说， CFD 模
拟的过程本质上是在计算域上构建线性方程组并求解线性方程组的过程。
从上面的论述可以看出，数值方法求解流动微分方程至少包括三个步骤：首先，离散计 算域；其次，在离散后的计算域上离散控制方程；其三，求解离散得到的线性方程组。需要 补充的是，并不是所有的线性方程都需要求解， 实际上有些特殊点上的流动变量值或其梯度
是已知的，这些特殊的点就是计算域边界上的点。通常为了限定微分方程的解，我们需要给 出定解条件，在这里就是所谓边界条件。同样的道理，对于包含时间导数的微分方程，我们
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需要给定初始条件。
上面我们用差商取代导数的方法介绍了离散 （把连续空间里的微分方程转化为该连续空
间内的不连续的点上的近似的线性方程的过程叫做离散化） 微分方程的思想。但是应该注意
的是，流动控制微分方程的离散化需要严谨的数学推导、证明和分析。离散化方法的研究是 CFD最重要的部分，也是 CFD中的数值方法的基础。计算流体力学中有三大类主要离散化方 法，即：有限差分方法（FDM，有限体积方法（FVM和有限元方法（FEM 。三者的区别主 要在于它们处理最基本的离散单元的方法， 其中有限差分和有限体积法更为常用。 有限差分
法通常在离散点上直接以差分替代微分（即差商替代导数） ，差分可以分为向前、向后和中
心差分；有限体积法则首先对构造在离散点周围的控制体进行积分， 将一阶导数项转换为代
数项，然后在控制体界面插值来实现离散化。对于不同的控制方程，每一类方法又有许多具 体的实施办法，这些实施方法被称为格式（scheme）。
计算网格的生成
在计算流体力学术语中， 计算域的离散被称之计算网格生成， 所谓网格实际上就是用上
述的离散点以某种方式连接而成的“网络”。最直观的网格是二维网格，例如，我们可以将 一个矩形计算域用一定间隔的 x方向的若干条直线和类似的 y方向的若干条直线划分为一个
个小的矩形单元组成的网状结构， 这个网状结构就是一个最简单的二维网格。 前述的用于离
散控制方程的点可以是网格线的交叉点， 也可以是矩形单元的中心， 这取决于离散控制方程
所采用的方法。
实际上，划分网格有很多方法，网格线可以是直线或曲线、正交的或非正交的，网格线 的间隔可以是均匀的或非均匀的。 而有些网格并不存在有意义的网格线， 或者说网格线没有
规则的结构，如用小的三角形单元构成的二维网格（类似于有限元网格） ，这样的网格被称
为非结构网格（unstructured grid），相对应的是前面所说的具有直线或曲线网格线的网格
被称为结构网格（structured grid）。二维网格是最据直观意义的网格，而一维网格的划分
实际上是将一个有限长度的直线或曲线分割成长度一定数量的均匀或不均匀的小的线段， 控
制方程将在这些小线段的端点或中心离散。 三维网格则可以看作二维网格在第三维方向的延
伸，例如三维结构网格的网格单元常见的是长方体或扭曲的长方体 （视直线网格或曲线网格
而定），三维非结构网格的网格单元多为四面体。
网格生成是CFD模拟的一个十分重要的部分，为了确保计算精度，网格必须足够密集， 事实上我们并不要求网格的密度在整个网格范围均匀一致， 通常对流动参数梯度大的地方要
采用较为密集的网格（例如激波的位置，边界层附近） ，梯度小的地方则可以适当采用疏松
的网格（比较开阔的空间、流动被扰动较少的地方） 。一个高质量的网格是 CFD模拟成功的
关键因素，不合适的网格可能直接导致计算的失败。因此，人们在生成网格上花费的时间常 常超过全部CFD工作时间的50%，对于复杂