初中数学难题.doc

25 .( 2014 ?四川内江,第 28 题, 12 分) 如图, 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(﹣ )、 C(0,4 ),点 B 在抛物线上, CB ∥x 轴,且 AB 平分∠ CAO . (1 )求抛物线的解析式; (2 )线段 AB 上有一动点 P ,过点 P作y 轴的平行线,交抛物线于点 Q ,求线段 PQ 的最大值; (3) 抛物线的对称轴上是否存在点 M,使△ ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形?如果存在,求出点 M 的坐标;如果不存在,说明理由. 考点: 二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;平行线的性质;等腰三角形的判定;相似三角形的判定与性质. 专题: 压轴题;存在型. 分析:(1) 如图 1, 易证 BC=AC , 从而得到点 B 的坐标, 然后运用待定系数法求出二次函数的解析式. (2) 如图 2, 运用待定系数法求出直线 AB 的解析式. 设点 P 的横坐标为 t, 从而可以用 t 的代数式表示出 PQ 的长,然后利用二次函数的最值性质就可解决问题. (3) 由于 AB 为直角边, 分别以∠ BAM=90 °( 如图 3)和∠ ABM=90 °( 如图 4) 进行讨论, 通过三角形相似建立等量关系,就可以求出点 M 的坐标. 解答: 解:( 1 )如图 1, ∵A (﹣ 3,0 ), C(0,4 ), ∴ OA=3 , OC=4 . ∵∠ AOC=90 °, ∴ AC=5 . ∵ BC ∥ AO , AB 平分∠ CAO , ∴∠ CBA= ∠ BAO= ∠ CAB . ∴ BC=AC . ∴ BC=5 . ∵ BC ∥ AO , BC=5 , OC=4 , ∴点B 的坐标为( 5,4 ). ∵A (﹣ )、 C(0,4 )、 B(5,4 )在抛物线 y=ax2+bx+c 上, ∴解得: ∴抛物线的解析式为 y= ﹣ x2+ x+4 . (2 )如图 2, 设直线 AB 的解析式为 y=mx+n , ∵A (﹣ )、 B(5,4 )在直线 AB 上, ∴解得: ∴直线 AB 的解析式为 y= x+ . 设点 P 的横坐标为 t (﹣ 3≤t≤5 ),则点 Q 的横坐标也为 t. ∴ yP= t+ , yQ= ﹣ t2+ t+4 . ∴ PQ=yQ ﹣ yP= ﹣ t2+ t+4 ﹣( t+ ) =﹣ t2+ t+4 ﹣t﹣=﹣ t2+ + =﹣( t2﹣ 2t﹣ 15 ) =﹣[(t﹣1)2﹣ 16] =﹣(t﹣1) 2+ . ∵﹣<0 ,﹣ 3≤1≤5, ∴当 t=1 时, PQ 取到最大值,最大值为. ∴线段 PQ 的最大值为. (3)①当∠ BAM=90 ° 时,如图 3 所示. 抛物线的对称轴为 x= ﹣=﹣=. ∴ xH=xG=xM= . ∴ yG= ×+=. ∴ GH= . ∵∠ GHA= ∠ GAM=90 °, ∴∠ MAH=90 °﹣∠ GAH= ∠ AGM . ∵∠ AHG= ∠ MHA=90 °,∠ MAH= ∠ AGM , ∴△ AHG ∽△ MHA . ∴. ∴=. 解得: MH=11 . ∴点M 的坐标为( ,﹣ 11 ). ②当∠ ABM=90 ° 时,如图 4 所示. ∵∠ BDG=90 °, BD=5 ﹣