利用位似作图.doc

-1- 利用位似作图如果两个多边形相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的相似叫做位似( homothety ),这一点叫做位似中心. 这时的相似比又叫做位似比. (1 )位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. (2 )利用位似变换作图,放大或缩小图形. 如图,把多边形 ABCDE 放大到 倍. 【分析】画法: 1. 任取一点 O; 2. 以点 O 为端点作射线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE ; 3. 分别在射线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 上取点 A′、B′、C′、D′、E′,使 OA ′∶ OA = OB ′∶ OB = OC ′∶ OC = OD ′∶ OD = OE ′∶ OE = ; 4. 连结 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、A′E′, 得到的多边形 A′B′C′D′E′就是所要画的放大 倍的图形. 例2 已知等边? ABC ,画一个与之相似且它们的相似比为 2的△A /B /C /. 【研析】如图 1 ,当设位似中心在? ABC 的形内时,取内心 O 作为位似中心. (1)在 AO 、 BO 、 CO 上分别取中点 A /、B /、C /, 连结 A /B /,B /C /、A /C /,则△ ABC ∽△ A /B /C /, -2- 且有 A /B / :AB=1:2 ; (2)取△ ABC 的内心 O, 连接 OA 、 OB 、 OC 且延长,使 AA / =AO ,B / B=BO ,C / C=CO , 连结 A /B /,B /C /、A /C / ,则有△ ABC ∽△ A /B /C / ,且 AB:A /B / =1:2 . 如图 2 ,设位似中心在△ ABC 的外部时(1)在△ ABC 外任取一点 O,过O 点作射线 OA 、 OB 、 OC , 并截取 AA / =OA ,C / C=OC , B / B=BO ,连结 A /B /,B /C /,C /A /,△ ABC ∽△ A /B /C / ,且 AB:A /B / =1:2 . (2)在△ ABC 外任取一点,过O 作直线 OA , OB , OC ,在 OA 、 OB 、 OC 的另一侧取A /,B /,C / ,使 A / O=2 1 AO ,B / O=2 1 OB ,C / O=2 1 OC .连结 A /B /,B /C /、A /C / ,则可证△ ABC ∽△ A /B /C / ,且 A /B / :AB=1:2 ; 【点拨】已知一个等边△ ABC , 要求画一个三角形, 使这两个三角形相似, 并且相似比为 2 .根据题意可知,已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的,即题中没有说明是原三角形与新三角形相似, 还是新三角形与原三角形相似, 这样形成的对应边的关系有两种,因此是不确定的,再者由于有相似比的值 2 ,那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边, 要满足比值为 2 的情况也有两种, 而实现这两种情况只能借助位似形的知识. 根据位似形的知识可知, 位似中心存在的情况有两种, 即在已知图形内或已知图形外, 它们都可以实现放大或缩小的作用. 例3 如图,求作内接于已知三角形 ABC 的矩形 DEFG ,使它的边