用轴对称知识求线段和的最小值研讨.doc

浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题,在初中数学中经常会遇到,利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质: 一、性质推导例题: 如图所示, 在河岸 L 的一侧有两个村庄 A、B, 现要在河岸L上修建一个供水站, 问供水站应建在什么地方, 才能到 A,B 两村庄的距离之和最短? 首先, 我们来推导一个轴对称的性质, 如图,作B 点关于L 的对称点 B 1, 在直线 L 上任意定一点 M ,连接 BB 1, BM ,B 1M ,根据轴对称知识,我们可以求证 BM =B 1M, 所以, 我们可以得出这样的性质: 成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。在该例题中, 利用这一性质, 我们可得出:点B 到河岸 L 上任意点 M 的距离等于对称 B 1 到点 M 的距离。要使 AM+ B 1M 最小,必须使 A、M、B 1 三点共线, 也就是说,必须使点 M ,与 AB 1 连线和 L 的交点 N重合, 所以,河岸上的 N 点为到 A、B 的距离之和最小的点。证明: M为L 上的任意点因为 BM =B 1M 所以, BM+AM =B 1 M+AM ,而 B 1 M+AM 大于 B 1A, 所以,结论成立二、应用 1: 在图(1)中,若A 到直线 L 的距离 AC 是3 千米, B 到直线 L 的距离 BD 是1 千米,并且 CD 的距离 4 千米, 在直线 L 上找一点 P ,使 PA+PB 的值最小。求这个最小值。解: 作出 A 1B (作法如上图) 过 A1 点画直线 L 的平行线与 BD 的延长线交于 H, 在 Rt△ A1BH 中, A1H=4 千米, BH=4 千米, 用勾股定理求得 A1B 的长度为 42 千米, 即 PA+PB 的最小值为 42 千米。 L P A1 A C B D H2、如图( 1) ,在直角坐标系 XOY 中, X 轴上的动点 M(x,0 )到定点 P(5,5 )和到 Q(2,1 )的距离分别为 MP 和 MQ ,那么当 MP+MQ 取最小值时,点 M 的横坐标 x=__________________ 。(5,5) (2,1) Y X O Q P 1 234 56 -1 -1 1 2 3 4 5 6 (5,5) (2,1) Y X M O Q P Q1 1 2 3 4 5 6 -1 -1 1 2 3 4 5 6解: 如图(2), 只要画出点 Q 关于 x 轴的对称点 Q1 (2, -1) ,连结 PQ1 交x 轴于点 M ,则 M 点即为所求。点 M的横坐标只要先求出经过 PQ 1 两点的直线的解析式,( y=2x-5 ), 令 y=0 ,求得 x=5/2 。(也可以用勾股定理或相似三角形求出答案)。图( 1) 图( 2) 图( 1) 3、求函数 y= 2 6 10 x x ? ?+ 2 6 34 x x ? ?的最小值。解:方法( Ⅰ) 把原函数转化为 y=1)3( 2??x + 2 2 ( 3) 5 x ? ?, 因此可以理解为在 X 轴上找一个点,使它到点( 3,1 )和( -3,5 )的距离之和最小。(解法同上一题)。方法( Ⅱ) 如图(9), 分别以 PM= ( 3-x )、 AM= 1 为边和以 PN= ( x+3 )、 BN=5 为边构建使( 3-x )和( x+3 ) 在同一直线上的两个直角△ PAM 、△ PNB ,两条斜边的长就是 PA= 2 ( 3) 1 x ? ?和 PB= 2 2 ( 3) 5 x ? ?,因此,求 y 的最小值就是求 PA+PB 的最小值, 只要利用轴对称性质求出 BA1 的长, 就是 y 的最小值。(62 )。 5 ( 3-X) 1 1 6 ( X+3) 图(9) N B A A1 G M P 三、拓展(一)三条线段的和最小的问题: 如图 3, 已知甲、乙、丙三人做接力游戏,开始时, 甲站在∠ AOB 内的 P 点,乙站在 OA 边上,丙站在 OB 边上,游戏规则: 甲将接力棒传给乙, 乙将接力棒传给丙, 最后丙跑至终点 P处。如果三人速度相同, 试作图求出乙丙站在何处, 他们比赛所用时间最短。析解:三人的速度一定且相同,要使比赛时间最短,只需三人所走的路程最短, 因此可以利用轴对称知识, 作点 P关于 OA、 OB 的对称点 P ?、P ??,连接 P P ? ??,交 OA于O ?,交 OB 于O ??,则点 O ?和点 O ??应分别是乙、丙的位置。这样连接 PO ?、 PO ??则三人行的路程和为 PO OO PO P O OO P O P P ? ?????????????????? ?????