第2课时：数列求和与综合运用研讨.doc

第2 课时数列求和及综合应用 1. 等差、等比数列的求和公式(1) 等差数列前 n 项和公式: S n= na 1+ nn-12 ·d= na 1+a n2 . (2) 等比数列前 n 项和公式: ①q=1 时, S n= na 1; ②q≠1 时, S n= a 11-q n1-q .2. 数列求和的方法技巧(1) 转化法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并. (2) 错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n 项和,其中{a n},{b n} 分别是等差数列和等比数列. (3) 倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法, 也就是将一个数列倒过来排列( 反序), 当它与原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (4) 裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项或 n 项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和. 3. 数列的应用题(1) 应用问题一般文字叙述较长, 反映的事物背景陌生, 知识涉及面广, 因此要解好应用题,首先应当提高阅读理解能力,将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问题转化为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决. (2) 数列应用题一般是等比、等差数列问题, 其中, 等比数列涉及的范围比较广, 如经济上涉及利润、成本、效益的增减,解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n} ,利用该数列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式. 题型一分组转化法求和例1 等比数列{a n} 中, a 1,a 2,a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a 1,a 2, a 3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行 32 10 第二行 64 14 第三行 98 18 (1) 求数列{a n} 的通项公式; (2) 若数列{b n} 满足: b n=a n+(- 1) n lna n ,求数列{b n} 的前 n 项和 S n. 审题破题(1) 可以通过逐个验证来确定数列的前三项, 进而求得 a n; (2) 可以分组求和: 将{b n}前n 项和转化为数列{a n} 和数列{(- 1) n lna n}前n 项的和. 解(1) 当a 1=3 时,不合题意; 当a 1=2 时,当且仅当 a 2=6,a 3= 18 时,符合题意; 当a 1= 10 时,不合题意. 因此 a 1=2,a 2=6,a 3= 18. 所以公比 q= n=2·3 n -1(n∈N *). (2) 因为 b n=a n+(- 1) n lna n=2·3 n -1+(- 1) n ln(2 ·3 n -1)=2·3 n -1+(- 1) n [ln 2+(n- 1)ln 3] =2·3 n -1+(- 1) n (ln 2- ln 3)+(- 1) nn ln3, 所以 S n= 2(1 +3+…+3 n -1)+[-1+1-1+…+(- 1) n]· (ln 2- ln 3)+[-1+2-3+…+ (- 1) nn ]ln 3. 所以当 n 为偶数时, S n=2× 1-3 n1-3 + n2 ln3=3 n+ n2 ln3-1; 当n 为奇数时, S n=2× 1-3 n1-3 - (ln 2- ln 3)+ n-12 -n ln3=3 n- n-12 ln3- ln2- 1. 综上所述, S n= 3 n+ n2 ln3-1,n 为偶数, 3 n- n-12 ln3- ln2-1,n 为奇数. 反思归纳某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差, 从而求得原数列的和, 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究, . 变式训练 1 在等差数列{a n} 中, a 3+a 4+a 5= 42,a 8= 30. (1) 求数列{a n} 的通项公式; (2) 若数列{b n} 满足 b n=( 3) a n+2+λ(λ∈R) ,则是否存在这样的实数λ使得{b n} 为等比数列; (3) 数列{c n} 满足 c n= 2 n -1,n 为奇数 12 a n -1,n 为偶数,T n 为数列{c n} 的前 n 项和,求 T 2n. 解(1) 因为{a n} 是一个等差数列, 所以 a 3+a 4+a 5=3a 4= 42,∴a 4= 14. 设数列{a n} 的公差为 d ,则 4d=a 8-a 4= 16 ,故 d= 4. 故a n=a 4+(n- 4)d=4n- 2. (2) b n=( 3) a