线性系统的极小极大控制.doc

线性不确定系统的极小极大控制 1 引言系统的稳定性和性能是控制系统设计中至关重要的问题。然而外界的干扰和系统自身的不确定性会破坏系统的稳定性和性能。随着干扰增大系统的状态会逐渐偏离平衡点并且控制的能量也变大。因此,为了保证投入较小的控制能量,使得充分大的干扰对系统的状态和输出的影响降低到最小,并且保证系统是稳定的,我们引入极小极大控制方法。 2 基本概念和预备知识(一)定义: 极小极大控制:针对不确定系统和相应的性能指标 J ,如果存在一个控制律* ( ) u t 和一个正数*J ,在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下,闭环系统是渐近稳定的,闭环性能指标达到极小且* J J ?, *J 称为一个性能上界, * ( ) u t 称为极小极大鲁棒控制律。(二)性能指标?? 0 , ( ) T T T J u W x Qx u Ru W SW dt ?? ???其中,0,0,0?????? TTTSSRRQQ ,W 表示系统所有的干扰和容许的不确定性。(三) 物理意义和目的物理意义:极小极大控制针对干扰和不确定性最坏的情形,讨论如何控制系统的稳定性和性能,使得系统在整个时间过程中状态偏差、控制消耗能量和终值精度等几方面综合性能指标最小。目的: 具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态,调节的目的就是使?? tx 尽量接近于零状态,这就相当于使积分??????? tt TdttxtQtx 尽可能地小。另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大,这就相当于要求积分??????? tt TdttutRtu 尽可能的小。而极小极大控制问题充分考虑到干扰和不确定性的影响,希望在干扰和不确定性尽可能大的情形下寻求一个使得性能指标最小的控制。 3 线性不确定连续系统的极小极大控制 3 .1 系统描述考虑不确定线性连续系统为???G Bu xEtFAx?????][ ?( ) 其中, nRx?为系统的状态向量, kRu?为系统的控制向量,lR??分别为系统的输出和干扰向量。, , , , A B G F E 是已知给定的相应维数的矩阵。?? t?是可测的矩阵函数,且对于所有的 t 满足???? T t t I ? ??() 考虑性能指标泛函为?? 0 , ( ) T T T J u W x Qx u Ru W SW dt ?? ???() 其中, T T T 0, 0, 0 Q Q R R S S ? ?????,W 表示系统所有的干扰和容许的不确定性。针对不确定系统() 和性能指标() , 当干扰对系统的破坏最大时,设计一个状态反馈控制律 T u x ???() 使得闭环系统渐近稳定且性能指标的值达到最小。将系统( )记为如下的等价系统( , ) x Ax Bu G F W ? ???() 其中, ?? v t Ex ??, T T T ( , ) W v ?? 3