经济数学1.5函数的连续性.ppt

一. 函数连续的概念 ESC § 函数的连续性二. 初等函数的连续性§ 函数的连续性三. 函数的间断点 ESC 一. 函数连续的概念在现实生活中有许多的量都是连续变化的, 例如气温的变化,植物的生长,. 首先引入增量(改变量)的定义. ESC 对函数,若自变量由改变到,自变量实际改变了,这时,函数值相应地由改变到,若记为函数相应的改变量,则)(xf 0x)( 0xf xx?? 0x?)( 0xxf??y?).()( 0 0xfxxfy?????改变量的定义 ya 1xb 0x 0Mxx?? 0 Mx?ox )(xfy?)( 0xf )( 0xxf??y?x?一. 函数连续的概念 ESC 连续的直观理解某人爬山. 在图中的蓝色山体部分, 该人沿山体向前挪动一小步,他在水平方向前进了,在垂直方向上升了,显然当时,有这时, 我们说该蓝色山体是连续的. x?y?0??x .0??y而在点,该人若在水平方向前进很微小的一点,垂直方向就要上升很多,即当时,不会有这时, 我们说该山体在处不连续. 0P0??x .0??y 0P 0P一. 函数连续的概念 ESC ya 1xb 0x 0Mxx?? 0 Mx?ox )(xfy?)( 0xf )( 0xxf??y?x?由图可看出, 在处, 当很微小时, 也很微小. x? y? 0x对函数: )(xfy?特别当时, . 0??x0??y)(xfy? 0x在处,曲线断开,作为曲线上的点的横坐标从左侧近旁变到右侧近旁时,曲线上的点的纵坐标呈现跳跃,即在处,当自变量有微小改变时,相应的函数值有显著改变. 1xx 1xy 1xy 一. 函数连续的概念 ESC 函数在一点连续的定义,0 )]()([ lim lim 0 000??????????xfxxfy xx设函数在点及其左右邻近有定义,若)(xf 0x 则称函数在点处连续, 称为该函数的连续点. )(xfy? 0x 0x 若记, 0xxx??? 0xxx????于是上式等价于 00 lim ( ) ( ). x x f x f x ??(1) 函数在点及其左右邻近有定义; )(xf 0x (2) 极限存在; )( lim 0xf xx?(3) 极限的值等于该点的函数值)( lim 0xf xx?).( 0xf 函数在一点连续的三个条件: 一. 函数连续的概念(定义 ) (定义 ) ESC 一. 函数连续的概念定义 ,,在使用时,可以根据情况任选其一. 由定义 : ,则在点处的极限一定存在;反之,若在点处的极限存在,则函数在点处不一定连续. 0x )(xf)(xfy? 0x)(xf 0x)(xf 0x ESC 一. 函数连续的概念 2 .若函数在点处连续,在求时的极限,只需求出在点处的函数值即可. )(xfy? 0x 0xx?)(xf 0x)( 0xf 3 .当函数在点处连续时,有)(xfy? 0x . 这个等式的成立意味着在函数连续的前提下,极限符号与函数符号可以互相交换,这一结论给我们求极限带来很大方便. ESC 一. 函数连续的概念例如求. x x cos lim 0? cos ) lim cos( cos lim 00?????xx xx ESC 一. 函数连续的概念 例 1 用定义证明 在给定点处连续. 35 2??xy 0x 证)()( 00xfxxfy?????)35(]3)(5[ 20 20??????xxx 20)(510xxx????,0])(510 [ lim lim 2000??????????xxxy xx, 所以 在给定点处连续. 35 2??xy 0x