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经济数学基础辅导 4 叶挺峰第一编第三章导数应用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性, 如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容: 一、如何确定函数的单调区间? 1 、定理:设 y=f(x) 在[a,b] 上连续,在( a,b )内可导,若 X∈( a,b ),有( 1) fˊ(X)>0 , f(X) 在[a,b] 上单调增加; (2)fˊ(X)>0 , f(X) 在[a,b] 上单调减少; 此定理中的区间,称为单调区间。 2 、确定函数 y=f(x) 单调区间步骤: ( 1) 确定 Y=f(x) 的定义域 D; (2)求Yˊ; (3)令Yˊ=0 ,求出根; ( 4)用 Yˊ=0 的根,划分 D 为几个小区间,列出表格判别; ( 5) 结论。例如:确定函数 312 92)( 23????xxxf 的单调区间。解: f(x) 的定义域: ),( ????)23(612 18 6)( 22'??????xxxxxf =6(X-1)(X-2) 令0)( 1?xf 即6( X-1 )( X-2 ) =0 得X 1 =1,X 2 =2 列表 X( -∞,1)1(1,2)2(2,+∞) Yˊ+-+ Y↗↘↗注意:确定 Yˊ的符号时,可取小区间中任意一个确定数,如: 0, ,3, 代入 fˊ(X) 式中定出 yˊ的正、负号, 再用符号“↗”、“↘”分别表示,曲线上升或下降。故 f(x) 单调增加区间为( -∞, 1],[2 ,+∞) ,单调减少区间为[1, 2] 二、函数极值和最值: 函数极大值与极小值统称为极值。取到极大值或极小值的点统称为极值点。 1 、极值的必要条件: f(x) 在点 X 0 处可导,点 X 0是 f(X) 的极值点,则 fˊ(X 0) =0 2 、驻点: 使fˊ(X)=0 的点,称为 f(X) 的驻点(或稳定点)。注意: (1)点X 0是 f(x) 的极值点( 或稳定点), f(x) 在X 0 处可导, 则点 X 0 必定是驻点; (2)驻点不一定是极值点; (3)在导数不存在的点处,可能有极值。 3、极值存在充分条件: 设f(x) 在点 X0的邻域连续且可导(fˊ(X 0) 可以不存在),当X从X 0 的左侧到右侧取值时, fˊ(X) 符号: 从+变-,X 0 为极大值点, f(X 0) 为极大值; 从-变+,X 0 为极小值点, f(X 0) 为极小值; 不变号, X 0 不是极值点, f(X) 在 X0 处无极值。用以上定理,可判别 X 0 是不是 f(X) 的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点。例如:求函数 xxxf?? 3 23)( 的极值。解: f(x) 的定义域(-∞,+∞) 3 33 3 1'21 212)(x xx xxf ???????令fˊ(X) =0 则有 02 3??x 得驻点 X=8 X=0 使fˊ(X) 无意义, X=0 是fˊ(X) 不可导的点。列表 X( -∞,0)0 (0,8) 8 (8, +∞) yˊ- 不存在+0- y↘0↗4↘极小值极大值故 X=0 是极小值点,极小值 f(0)=0 x=8 是极大值点,极大值 f(8)=4 4 、函数的最值: 函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言,极值是局部概念,函数最值是整体概念。求应用问题的最值,常用以下的结论: f(x) 在[a,b] 上连续,在( a,b ) 内可导,且 X 0是 f(x) 在( a,b ) 内唯一驻点, 那么当 X 0是 f(x) 极大值点( 或极小值点)时, X 0 一定是 f(x) 在[a,b] 上的最大值点(或最小值点), f(x 0) 是函数 f(x) 的最值。例如:生产某产品的总成本函数 C( X) = 210 400 xx??2 求使平均成本最低的产量及最低平均成本。解:平均成本 xxx xcxA???? 10 400 )()( 2 22 '400 1 400 )(x xx xA ?????令A′(X) =0 ,则有 400 2?x =0 得 X1=20 X 2=-20( 舍去)当 X<20 时, A'( X) <0 当 X> 20 时, A'( X) >0 X=20 是极小值点,在( 0,+∞)内驻点唯一, X=20 也是最小值点。故当产量 X=20 时,平均成本最低,最低平均成本为 A( 20)=50 20 10 20 400 ???三、导数在经济分析中的应用 1 、需求(价格)弹性设某商品的市场需求量为 q ,价格为 P ,需求函数 q=q(P) 可导,则称)( )( 'pq pqp Ep ?为该商品需求价格弹性,简称需求弹性。其经济意义是:当某种商品的价格下降(或上升) 1% 时,某需求量将增加(或减少) |E p |%。例如:某种商品的需求量