经管类概率论与数理统计第二章随机变量及其变量分布.docx

第一章随机变量及其变量分布§ 离散型随机变量(一)随机变量引例一:掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}. 我们可以引入变量 X,使 X=1 ,表示点数为 1; x=2 表示点数为 2;…, X=6 ,表示点数为6。引例二,掷硬币,可能结果为Ω={ 正,反}. 我们可以引入变量 X ,使 X=0 ,表示正面, X=1 表示反面。引例三, 在灯泡使用寿命的试验中, 我们引入变量 X,使 a<X<b , 表示灯泡使用寿命在 a (小时)与 b (小时)之间。例如, 1000 ≤X≤ 2000 表示灯泡寿命在 1000 小时与 2000 小时之间。 0<X<4000 表示灯泡寿命在 4000 小时以内的事件。定义 1 :若变量 X 取某些值表示随机事件。就说变量 X 是随机变量****惯用英文大写字母 X,Y,Z 表示随机变量。例如,引例一、二、三中的 X 都是随机变量。(二)离散型随机变量及其分布律定义 2 若随机变量 X 只取有限多个值或可列的无限多个( 分散的)值, 就说 X 是离散型随机变量。例如,本节中的引例一、引例二的 X 是离散型随机变量。定义 3 若随机变量 X 可能取值为且有( k=1,2, …,n,…) 或有其中,第一行表示 X 的取值,第二行表示 X 取相应值的概率。就说公式( k=1,2, …,n,…) 或表格是离散型随机变量 x 的(概率)分布律,记作分布律有下列性质(1);(2) 由于事件互不相容。而且是X 全部可能取值。所以反之,若一数列具有以上两条性质,则它必可以作为某随机变量的分布律。例1 设离散型随机变量 X 的分布律为求常数 c。【答疑编号: 10020101 针对该题提问】解由分布律的性质知 1=+c+, 解得 c=. 例2 掷一枚质地均匀的骰子,记 X 为出现的点数,求 X 的分布律。【答疑编号: 10020102 针对该题提问】解X 的全部可能取值为 1,2,3,4,5,6, 且则X 的分布律为在求离散型随机变量的分布律时, 首先要找出其所有可能的取值, 然后再求出每个值相应的概率。例3 袋子中有 5 个同样大小的球,编号为 1, 2.,3,4,5 。从中同时取出 3 个球,记 X 为取出的球的最大编号,求 X 的分布率。【答疑编号: 10020103 针对该题提问】解X 的取值为 3,4,5 ,由古典概型的概率计算方法,得(三个球的编号为 1,2,3 ) (有一球编号为 4 ,从 1,2,3 中任取 2 个的组合与数字 4 搭配成3 个) (有一球编号为 5 ,另两个球的编号小于 5) 则X 的分布律为例4 已知一批零件共 10 个,其中有 3 个不合格,今任取一个使用,若取到不合格零件, 则丢弃掉, 再重新抽取一个, 如此下去, 试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数 X 的分布率。【答疑编号: 10020104 针对该题提问】解X 的取值为 0,1,2,3 ,设表示“第i 次取出的零件是不合格的”, 利用概率乘法公式可计算,得故X 的分布率为在实际应用中,有时还要求“X 满足某一条件”这样的事件的概率,比如等,求法就是把满足条件的所对应的概率相加可得, 如在例 2 中,求掷得奇数点的概率,即为 P{X=1, 或 3,或 5} =P{X=1}+ P{X=3}+ P{X=5}= 在例 4 中, P{X ≤ 1}= P{X=0}+ P{X=1}= , P{X>1}= P{X=2}+ P{X=3}= , P{1 ≤ X<}= P{X=1}+ P{X=2}= , 例5若X 的分布律为求( 1) P(X<2), 【答疑编号: 10020105 针对该题提问】(2) P(X ≤ 2), 【答疑编号: 10020106 针对该题提问】(3) P(X ≥ 3), 【答疑编号: 10020107 针对该题提问】(4) P(X>4) 【答疑编号: 10020108 针对该题提问】解( 1) P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+.02= (2) P(X ≤ 2)= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)=++= (3) P(X ≥ 3)= P(X=3)+P(X=4) =+= (4) ∵{x>4}= Φ∴ P{x>4}=0 (三) 0-1 分布与二项分布下面,介绍三种重要的常用离散型随机变量,它们是 0-1 分布、二项分布与泊松分布。定义 4 若随机变量 X 只取两个可能值: 0,1, 且 P{X=1}=p, P{X=0}=q 其中 0<p<1,q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布。 X 的分布律为在n 重贝努利试验中,每次试验只观察 A 是否发生,定义随机变量 X如下: 因为,所以 X 服从 0-