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统计技术(一) 统计技术基本概念 1 .随机变量的基本概念(1) 事件和随机事件 a) 事件: 观测或试验的一种结果,称为一个事件, 。例如:明天的天气是晴天、阴天还是雨天,这三种可能性中的每一种都称为事件。。又如: 测量工件的直径所得的结果为 9. 91mm ,9. 92mm ,9. 93mm ,…这里每个可能出现的测量结果都称为事件。 b) 事件的分类: 确定性事件: 确定性事件有着内在的规律,比较容易看到和处理。。例如: 向上抛一石子必然下落; 。又如:纯水在标准大气压下加热到 100 ℃时必然沸腾等; 均属肯定事件或确定性事件。不确定性事件: 对于不确定性事件,就每一次观测或试验结果来看是可疑的,但在大量重复观测或试验下却呈现某种规律性( 统计规律性)。。例如: 抛掷一枚硬币的结果可能正面朝上、也可能反面朝上; 。又如:打靶的结果可能射中、也可能射不中等; 均属可疑事件或不确定性事件。在概率统计中, 把客观世界可能出现的事件区分为最典型的三种情况: ①必然事件。在一定条件下必然出现的事件,例如工件直径的测量结果为正,是必然事件。’②不可能事件。在一定条件下不可能出现的事件,例如工件直径的测量结果为零或负值,都是不可能事件。③随机事件。在一定条件下可能出现也可能不出现的事件,例如工件直径的测量结果出现在 9. 91mm 与9. 92mm 之间,是一个随机事件。随机事件即是随机现象的某种结果。(2) 随机变量如果某一量(例如测量结果)在一定条件下,取某一值或在范围内取一个随机事件, 则这样的量叫作随机变量。 a) 随机变量的特点: 是以一定的概率在一定的区间上取值或取某一个固定值。。例如:工件直径的测量结果在(9. 90~9. 92mm) 区间上取值的概率为 。由前所述可知, 测量结果及其不确定度均为随机变量。 b) 随机变量根据其取值的特征分类: ①连续型随机变量。若随机变量 X 可在坐标轴上某一区间内取任一数值,即取值布满区间或整个实数轴,则称 X 为连续型随机变量。。例如:重复测量中所得的一组观测值属于连续型随机变量。②离散型随机变量。若随机变量 X 的取值可离散地排列为 X 1,X 2,…, 而且 X 以各种确定的概率取这些不同的值,即只取有限个或可数个实数值,则称 X 为离散型随机变量。。例如:在取有效数字的位数时,数字的舍入误差属于离散型随机变量。(3) 事件的概率 a) 随机事件的特点是:在一次观测或试验中,它可能出现、也可能不出现,但是在大量重复的观测或试验中呈现统计规律性。 b) 概率的古典定义:在连续 n 次独立试验中,事件 A 发生了 m 次, m 称为事件的频数, m/n 则称为事件的相对频数或频率,当 n 极大时,频率 m/n 稳定地趋于某一个常数 P,此常数 p 称为事件 A 的概率,记为 P(A)=P 。 c) 概率:概率P 是用以度量随机事件A 出现的可能性大小的数值。必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率 P(A) 为0≤ P(A) ≤1 。所以,必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况或特例。概率可以通过一定的法则进行运算。(4) 分布函数 a) 随机变量的概率取值: 随机变量的特点是以一定的概率取值,但并不是所有的观测或试验都能以一定的概率取某一个固定值。例如:重复测量某圆柱体直径时,作为被测量最佳估计值的测量结果是随机变量,记为X,它所取的可能值是充满某一个区间的( 并非某一个固定值)。此时人们所关心的问题是: 它落在该区间的概率是多少?即根据概率加法定理有显然, 只要求出 P[X < b]及 P[X < a] 即可, 这要比求 P[a ≤X≤ b] 简便得多, 因为它们只依赖于一个参数。 b) 分布函数的定义: 对于任何实数x, 事件[X<x] 的概率当然是一个x 的函数。令 F(x)=P [X<x] ,显然有(F-∞)=0 , F(+ ∞)=+1 ,这里 F(x) 即为随机变量 X 的分布函数。所以,分布函数 F(x) 完全决定了事件[b≤X≤ a] 的概率, 或者说分布函数 F(x) 完整地描述了随机变量 X 的统计特性。 2 .随机变量的数字特征(1) 数字特征的作用: 利用分布函数或分布密度函数可以完全确定一个随机变量,但在实际问题中求分布函数或分布密度函数不仅十分困难,而且常常没有必要。例如:测量零件的长度得到了一系列的观测值,人们往往只需要知道零件长度这个随机变量的一些特征量就够了, 诸如长度的平均值( 近似地代表长度的真值) 及测量标准(偏)差( 观测值对平均值的分散程度)。(2 )数字特征: 用一些数字来描述随机变量的主要特征,显然十分方便、直观、实用, 在概率论和数理统计中就称它们为随机变量的数字特征。这些特征量有数学期望、方差、