考研数学 第一章函数.doc

第一章函数、极限、连续第一节函数、极限、连续的基本概念一、函数的基本概念 1、定义 2、复合函数(注意中间变量、自变量、因变量) 3、反函数( 1 ( ) x f y ??是( ) y f x ?的反函数) 4、非初等函数的几种形式二、函数的几种基本性质 1、有界性 2、单调性 3、奇偶性 4、周期性三、极限的概念 1、数列极限的定义 2、函数极限定义 0 0 0 ( , , ) ( ) x x x x x x x ? ?????????????? ?? 3、无穷小、无穷大的定义(注意无穷大与无界量的区别) 4、无穷小的比较(高阶、同阶、等价无穷小) 四、关于极限的基本定理 1、极限的四则运算法则 2、关于无穷小的几个性质( 1)有限个无穷小的和为无穷小( 2)有限个无穷小的积为无穷小( 3)有界函数与无穷小的和为无穷小( 4)无穷小的倒数是无穷大,无穷大的倒数是无穷小 3、关于极限的存在准则( 1)夹逼定理( 2)单调有界准则( 3)洛必达法则五、函数的连续性 1、函数在 0 x x ?处连续 2、单侧连续 3、区间上连续六、连续的基本定理 1、四则运算的连续性 2、反函数的连续性 3、复合函数的连续性 4 、闭区间上连续函数的性质(有界性定理、最大值最小值定理、介值定理和根的存在性定理) 第二节求定义域、值域以及判别函数的奇偶性、周期性等一、确定复合函数定义域的一般方法(代换的方法) 1、设( ) f x 的定义域为[0,1] ,求下列函数的定义域(1) 2 (4 ) f x 分析: (2) (sin 2 ) f x 分析: 2、设1 ( ) 1 f x x ??,求[ ( )] f f x ,??[ ( )] f f f x 的定义域。分析: 3、设 2 1, 2 2 , 1 ( ) , ( ) 2, 2 1 , 1 x x x f x g x x x x ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?????求复合函数[ ( )], [ ( )] f g x g f x , 并讨论连续区间和间断点。分析: 二、有已知函数关系式求( ) f x 的表达式 1、若?? 2 ( ) , ( ) [ ( )] , 1 nx f x f x f f f x x ? ???求( ) n f x 分析: 2、设( ) f x 满足 2 1 7 3 ( ) 4 ( ) 0 f x x f x x ? ???,求( ) f x 分析: 3、已知( ) f x 在数轴上处处有定义, (0) f ?存在,且对任何, x y 恒有( ) ( ) ( ) 2 f x y f x f y xy ? ???,求( ) f x 分析: 三、判别函数奇偶性的一般方法 1、证明定义在( , ) l l?内的任何函数( ) f x 均可以表示为奇函数与偶函数的和。分析: 2、求证可微的偶函数的导函数为奇函数。分析:((1)用定义( 2)直接求导( 3)注意( ),[ ( )] f x f x ? ?? ?的区别) 四、求函数周期的一般方法(1) ( ) f x 的周期为 T ,则( )( 0) f ax b a ? ?的周期为 Ta (2) 1 ( ) f x 的周期为 1T , 2 ( ) f x 的周期为 2T , 1 2 , T T 的最小公倍数是 T ,则 1 ( ) f x , 2 ( ) f x 的和、差、积、商以为 T 周期 1、求下列函数的最小正周期(1) ( ) sin8 cos6 f x x x ? ?分析: (2) 1 1 ( ) sin sin 2 sin3 2 3 f x x x x ? ? ?分析: 2、求( ) [ ] f x x x ? ?的最小正周期。分析: 五、有已知关系式推证函数的周期性(几何问题要作图进行分析, 判断周期是多少) 1、若( )( ) y f x x R ? ?的图形关于两直线, , ( ) x a x b b a ? ??对称,证明: ( ) f