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考研数学连续讲义(卓越资料).docx


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卓越考研内部资料(绝密) 卓而优越则成卓越考研教研组汇编卓越考研卓而优越则成 1 §1 .3 连续 A 1 、连续的定义定义(1) : 设函数?? xfy?在点 0x 的某个邻域内有定义, 如果当自变量的改变量 x?趋近于0 时,相应的函数改变量 y?也趋近于 0 ,即 0 lim 0????y x 或?????? 0 lim 000??????xfxxf x 则称函数?? xfy?在点 0x 处连续。定义(2) : 设函数?? xfy?在点 0x 的某个领域内有定义, 如果当 0xx?时, 函数?? xf 的极限值存在,且等于 0x 处的函数值?? 0xf ,即???? 0 lim xfxf xx??则称函数?? xfy?在点 0x 处连续。 2 、左右连续的定义如果???? 0 0 lim xfxf xx???,则称函数?? xf 在点 0x 处左连续;如果???? 0 0 lim xfxf xx???,则称函数?? xf 在点 0x 处右连续。由上述定义 2 可知,如果函数?? xfy?在点 0x 处连续,则?? xf 在0x 处既左连续也右连续。 3 、函数在区间内(上)连续的定义如果函数?? xfy?在开区间?? ba, 内的每一点都连续,则称?? xf 在?? ba, 内连续。如果?? xfy?在开区间内连续, 在区间端点 a 右连续, 在区间端点 b 左连续, 则称?? xf 在闭区间?? ba, 上连续。二、函数的间断点及其分类 1 、函数的间断点的定义如果函数?? xfy?在点 0x 不连续,则称 0x 为?? xf 的间断点。卓越考研卓而优越则成 2 2 、函数的间断点的分类函数的间断点分为两类: (1 )第一类间断点设0x 是函数?? xfy?的间断点。如果?? xf 在间断点 0x 处的左、右极限都存在, 则称 0x 是?? xf 的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2 )第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。?x 是?? x xxf sin ?的可去间断点,是?? x xxf?的跳跃间断点,是?? x xf 1?的无穷间断点,是?? x xf 1 sin ?的振荡间断点。三、初等函数的连续性 1 .在区间 I 连续的函数的和、差、积及商(分母不为零) ,在区间 I 仍是连续的。 2 .由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 3 .在区间 I 连续且单调的函数的反函数,在对应区间仍连续且单调。 4 .基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5 .初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质定理 1.( 有界定理) 如果函数?? xf 在闭区间?? ba, 上连续,则?? xf 必在?? ba, 上有界。定理 2. (最大值和最小值定理)如果函数?? xf 在闭区间?? ba, 上连续,则在这个区间上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3. (介值定理)如果函数?? xf 在闭区间?? ba, 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,则对于介于 m 和M 之间的任何实数 c ,在?? ba, 上至少存在一个?,使得?? cf??推论:如果函数?? xf 在闭区

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  • 时间2017-02-19