考研数学：寻根究底之随机变量篇(二).doc

Born to win 考研数学:寻根究底之随机变量篇(二) ——离散 VS 连续,一维 VS 多维,随机 VS 确定刘纬宇——数学教研室在弄清了随机变量的含义后, 我们思考一个问题: 用什么方式去描述它?随机变量有两个要素: 取值和取值对应的概率。而分布是描述随机变量的方式。分布包括三种: 分布函数, 分布律和概率密度。为什么要有三种,这么麻烦,一种多简单?这就像现金可以完成支付, 为什么还会有公交卡?因为我们坐公交时刷卡更方便些。分布函数确实可以描述所有随机变量, 但对于离散型随机变量, 用分布律描述较为方便; 对于连续型随机变量, 用概率密度描述较为方便。分布函数是描述随机变量的通用方式。对于随机变量 X ,我们称 F(x) =P{X<=x} ,(x 属于 R) 为其分布函数。关于分布函数, 前文我们讨论过一种理解角度, 此外, 我们还可以从以下几个角度理解。 (x) =P{X<=x}= P{X 属于( 负无穷, x]} ,意味着 X 的分布函数 F(x )是随机变量 X 落入区间( 负无穷, x] 的概率。 2. 对于上面用掷硬币这个随机试验定义的随机变量 X ,大家动手写一下它的分布函数, 不难得到如下结果:当 x<0 时, F(x)=0 ;当 0=<x<1 时, F(x)=1/2 ;当 x>=1 时, F(x)=1 。我们看一下 F(x) 的三个函数值是如何得到的:当 x<0 时,X在x 以左没有取值, 所以概率为 0, 进而 F(x) 的函数值为 0 ;当 0=<x<1 时, X 的取值 0 在此范围内,所以分布函数把 0 对应的概率含进去, F(x) 的取值为 1/2 ; 类似地,当 x>=1 时,X 的取值 0和1 在此范围内, 所以分布函数把 0和1 对应的概率含进去, F(x) 的函数值为 1/2+1/2=1 。通过以上分析过程, 我们可以得到, 离散型随机变量的分布函数可以理解成“概率的累加”, 累加的是 X 落入区间(负无穷, x] 的概率。另外,大家动手画一下 F(x) 的图像,观察其形状,会发现它是一个阶梯形函数。那么是否所有离散型随机变量的分布函数都是阶梯形函数呢?是。大家也可以想想为什么如此?分布函数累加的是( 负无穷, x] 概率,在随机变量有取值的点,分布函数把该点的概率加进去,函数图像就在该点发生跳跃,跳跃的高度恰为随机变量取该点的概率;在随机变量没有取值的区间, 没有概率, 分布函数的函数值没有增加, 函数图像为一条水平的线段(或射线)。 3. 随机变量 X 不是高数中的函数, 那么其分布函数是高数中的函数吗?是。我们观察上面写出的分布函数的表达式和图像, 会发现它就是一个普通的分段函数, 是高数的中的函数。在讨论完随机变量后,我们讨论多维随机变量。先考虑一个问题:什么叫多维随机变量。想一下,咱们在哪个地方提到过“多维”?高数中有二维平面, 三维空间。线性代数中向量的维数即向量分量的个数。所谓 n 维随机变量, 就是一个向量,该向量的每个分量是定义在同一个样本空间上的随机变量。或者理解成 n 个一维随机变量放在一块考虑。我们学****多维随机变量, 要和一维对比起来理解。前面提到, 我们是用分布描述一个随机变量的, 分布有三种: 分布函数, 分布律和概率密度。那么, 推广一下, 就得到了二维随机变量的描述方