考研连续性间断点.ppt

机动目录上页下页返回结束三、函数的连续性问题可见, 函数)(xf 在点 0x 1、函数连续性的定义定义:)(xfy?在0x 的某邻域内有定义, ,)()( lim 0 0xfxf xx??则称函数.)( 0连续在xxf (1) )(xf 在点 0x 即)( 0xf (2) 极限)( lim 0xf xx?(3).)()( lim 0 0xfxf xx??设函数连续必须具备下列条件:存在; 且有定义,存在; 机动目录上页下页返回结束 continue )()( lim ,),( 0 0 0xPxPx xx????????若)(xf 在某区间上每一点都连续, 则称它在该区间上连续, 或称它为该区间上的连续函数..],[baC 例如,nnxaxaaxP????? 10)( 在),(????上连续. ( 有理整函数) 又如,有理分式函数)( )()(xQ xPxR?在其定义域内连续. 在闭区间],[ba 上的连续函数的集合记作只要,0)( 0?xQ 都有)()( lim 0 0xRxR xx??机动目录上页下页返回结束对自变量的增量, 0xxx???有函数的增量)()( 0xfxfy???)()( 00xfxxf????)(xfy?xo y 0xx x? y?)()( lim 0 0xfxf xx??)()( lim 000xfxxf x?????0 lim 0????y x)()()( 000 ????xfxfxf 左连续右连续,0???,0???当?????xxx 0时, 有?????yxfxf)()( 0 函数 0x )(xf在点连续有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束在在 2、函数的间断点(1) 函数)(xf 0x (2) 函数)(xf 0x )( lim 0xf xx?不存在; (3) 函数)(xf 0x)( lim 0xf xx?存在,但)()( lim 0 0xfxf xx??不连续: 0x设 0x在点)(xf的某去心邻域内有定义, 则下列情形这样的点 0x 之一函数 f (x ) 在点虽有定义, 但虽有定义, 且称为间断点. 在无定义; 机动目录上页下页返回结束间断点分类: 第一类间断点: )( 0 ?xf及)( 0 ?xf均存在, ,)()( 00 ???xfxf若称 0x,)()( 00 ???xfxf若称 0x第二类间断点: )( 0 ?xf及)( 0 ?xf中至少一个不存在,称 0x若其中有一个为振荡,称 0x若其中有一个为,?. 机动目录上页下页返回结束 xy tan )1(? 2 ??x为其无穷间断点. 0?x为其振荡间断点. x y 1 sin )2(?1?x为可去间断点. 1 1)3( 2???x xyx o y1 例如:xy tan ? 2 ?x yox yx y 1 sin ?0 机动目录上页下页返回结束 1 )1(1)( lim 1fxf x???显然 1?x为其可去间断点. ???????1, 1,)( 2 1x xxxfy (4) x o y 2 11 (5) ????????????0,1 0,0 0,1)(xx x xxxfy x yo 11?,1)0(???f 1)0(??f0?x为其跳跃间断点. 机动目录上页下页返回结束(6) 确定函数间断点的类型. x xe xf ??? 11 1)( 解:间断点 1,0??xx)( lim 0xf x??,?? 0??x 为无穷间断点;,1时当?? x ??x x1 ,??0)(??xf,1时当?? x ??x x1 ,?? 1)(??xf 故1?x 为跳跃间断点. ,1,0处在?x .)(连续 xf 机动目录上页下页返回结束定理 xx cot , tan 在其定义域内连续 3、连续函数的运算法则定理 , 差, 积, ( 利用极限的四则运算法则证明)连续 xx cos , sin 商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数. 例如,例如,xy sin ?在],[ 22 ???上连续单调递增, 其反函数 xy arcsin ?(递减). (证明略)在[- 1 , 1] 上也连续单调递增. 递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束