考研高等数学电子教材：函数、极限、连续.doc

考研数学高等数学电子教材欢迎使用新东方在线电子教材我们讲义共写了八章,数学一的考生全部要学,而其它考生只需要其中的一部分。根据共同需要的内容先讲的原则,讲课内容与顺序安排如下: 第一章函数、极限、连续(全体) 第二章一元函数微分学(全体) 第三章一元函数积分学(全体) 第六章多元函数微分学(全体) 第七章§ 二重积分(全体) 第四章§ 一阶微分方程§ 微分方程的应用(数学四考生结束) § 高阶微分方程(数学二考生结束) 第八章无穷级数(数学三考生结束) 第五章向量代数与空间解析几何第七章§ 三重积分§ 曲线积分§ 曲面积分数学一全部内容结束第一章函数、极限、连续§ 函数(甲) 内容要点一、函数的概念 1. 定义)(xfy?,Ix? x 为自变量, y 为因变量或称为函数值 yxf?: 为对应关系自变量在定义域里面取值的时候, 所有的函数值的全体就称为值域。口诀( 1) :函数概念五要素;对应关系最核心。 2. 分段函数(考研中用得很多) 例1:1, 1,13 )( 2???????x xx xxf 例2:0, 0,???????x xx xx 例3:1, 10, 0,),, max( 3 232??????????x x xx x xxxx 口诀( 2) :分段函数分段点;左右运算要先行。 3 .反函数例: 2xy?的反函数 yx??由于不单值,所以要看作 yx?和yx??,它们的图像与 2xy?一致。如果改变符号, 写成xy?和xy??, 那么它们的图像要变。 4 .隐函数 0),(?yxF 确定 y与x 的函数关系有些隐函数能化为显函数,例: 1 22??yx , 21xy??和21xy???。另外有些隐函数则不能化为显函数。例: 05)23 sin( ?????yxe yx 二、基本初等函数的概念、性质和图像(内容自己复****参考书,这里仅举例说明其重要性) 例1 :考察 x x x x arctan lim )( )(????????xy arctan ?的图像例2 :考察 10 lim xxe ??因为?????) 1( lim 20x x 指数函数 xey?的图像因此0 lim 10??? xxe 三、复合函数与初等函数 1. 复合函数(i )已知)(xf ,)(xg ,求)]([xgf ( ii )已知)]([xgf ,)(xg ,求)(xf 2. 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数原则上来说,分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数 1 .用极限表示的函数(1)?? xfy nn??? lim (2)?? xtfy xt, lim ?? 2 .用变上、下限积分表示的函数(1)????? xadttfxFy)( 其中?? tf 连续,则?? xfdx dy?(2)????????? xxdttfxGy)( ??其中?? x 1?,?? x 2?可导, ?? tf 连续, 则???????????? xxfxxfdx dy 1122????????口诀( 3) :变限积分是函数;出现之后先求导。五、函数的几种性质 1 .有界性: (i) 定义: 设函数?? xfy?在X 内有定义, 若存在正数 M ,使Xx?都有?? Mxf?, 则称?? xf 在X 上是有界的。( ii )例: x xf 1)(?在( 0,1 )内无界,在( 1/2 ,1 )内有界 2 .奇偶性: (i )定义:设区间 X 关于原点对称,若对 Xx?,都有???? xfxf???,则称?? xf 在X 上是奇函数。若对Xx?,都有???? xfxf??,则称?? xf 在X 上是偶函数。( ii )图像对称性:奇函数的图象关于原点对称;偶函数图象关于 y 轴对称。常用公式: 为偶函数当为奇函数当f f)(2 0)( 0????????? a aadxxf dxxf 口诀( 4) :奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。 3 .单调性: (i) 定义:设?? xf 在X 上有定义, 若对任意 Xx? 1 ,Xx? 2 ,21xx?都有?????????? 2121xfxfxfxf??则称?? xf 在X 上是单调增加的[ 单调减少的]; 若对任意 Xx? 1 ,Xx? 2 ,21xx?都有?????????? 2121xfxfxfxf??, 则称?? xf 在X 上是单调不减[ 单调不增] (注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。) ( ii )判别方法:在( a,b )内,若 0)(??xf ,则)(xf 单调增加;若 0)(??xf ,则单调减少。口诀( 5) :单调增加与减少;先算导数正与负。 4 .周期