考研辅导-极限与连续.doc

1 数学分析补充第一部分:极限与连续§1 数列极限的证明与计算知识点回顾: 极限定义与性质的应用。单调有界原理的应用。 Ca uc hy 收敛准则的应用。 St ol s 公式, Tayl or 公式的应用。范例: 1、证明: n n sin lim ??不存在。证法(1): 利用 Ca uc hy 准则。取,N?],4 32[ ????Nn]22[????Nm , 则????????2224 324 2?????????NmNNnN ,从而 2 2 sin sin ??mn 。证法( 2) :设 n n sin lim ??=A 。因为)1 cos( 1 sin 2 sin )2 sin( ????nnn , 令?? n 即得 0 cos lim ???n n 。又由 1 cos sin 22??nn 可知 A =1 。又因为 nnn cos sin 22 sin ?以及 0 cos lim ???n n 得到 A =0 。得出矛盾。 2 、设( 1)n nxxxx2 cos 2 cos 2 cos 2??;(2)n nnx 2 22 1216 17 4 52 3???。试求: nnx ?? lim 。解:(1).以n n n nx x2 sin 2 2 sin 2 乘nx ,注意 ttt2 sin 2 1 cos sin ?。 2 (2).以2 11 2 11??乘nx ,注意 21)1 )(1(aaa????。 3 、求极限: x xn xxxn aaa 1210 lim ???????????。解:原式=)0(, ln 1,11 11 11?????????????????????????????xax an aa k xk x n aan aa xn x ???。 4 、已知??????????????????????????????? p ni pi p ni pip iaania 11 11 lim ),1(,0,计算?。解:令????. max , min iiaAaa??由迫敛性得极限为 a A 1?。 5 、设: nn nnk nxk x ?????? lim :, 1 )1(求。解法( 1):)1(2 1)1(2??????kkk kk 。解法(2):nx 中共有 2 n+2 项, 最大项为 n 1 , 最小项为 1 1?n , 因此 n nxn n n221 22?????。 6 、求极限: pn n p pppn(, 21 1 lim ???????为自然数)。解:利用 St ol z 公式、二项式定理。 7 、求极限: 2 112 13 22 1212 212 212 1 lim ???????????????????????????? n n n?。解:对于连乘积形式,可以先取对数。??????????????????12 2 ln212 2 ln212 1 ln2 1 ln 12321n nn n nx?, 由 St ol z 公式 32 1 lim ,2 1 ln22 12 2 ln2 ln lim 21 12 lim ??????????????? nn nn n nnn nnxx所以。 8、设:??? nk knaA 1 收敛,????? np 。求证:0 11 lim ?????n nnnp apap?。证:1??? kkkAAa ,则: 原式=nn nk kkkAp App?????? 11 1)( , 对第一项应用 St ol z 公式。 9 、设 nnn nnxcxc xcxx ???????? lim ,)1( )1(,0 11求: 。解: 注意到, n nnnxc cxxx????? 21 故应比较 nx 与c 的大小关系。问题在于是否有:nx 都大于 c ?或 nx 都小于 c ?或 nx 都等于 c ?这问题通常与递推关系式 xc xcxf???)1()( 的单调性及首项 1x 的大小有关。 xfxc xcxf?????????)(,0)( )1()(, )1()( 2且则, 所以)(xf 单调增加。①cx? 1 时,对任意 n 都有 cx n?,所以?? nx 收敛于 c 。②cx? 1 。由)( 1nnxfx??及归纳法可证 cx n?,因此又有?? nx?。③cx? 1 。同理可证??}{, nnxcx且。另解:因为)(,1 11 )1()( )1()(0 xf即??????????为压缩映射, 从而?? nx 收敛。 10 、若)(xf 在 I=[a-r,a+r] 上可微,raafxf)1()(,1)(????????,IxxfxxfxxfxIx nn??????* 112010 ),(, ),( ),(,。则:存在唯一的令任取??**, lim xxx nn???